Travail d’une force, énergie cinétique et applications

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Classe(s) : Tle ST2S | Thème(s) : Travail d'une force. Énergie cinétique. Applications

Travail d’une force, énergie cinétique et applications

Lorsque le point d’application d’une force s’exerçant sur un corps se déplace, on constate que le corps peut être mis en mouvement ou qu’il peut changer d’altitude. Ainsi, lorsqu’une force déplace son point d’application, elle fournit un travail. L’unité de cette grandeur physique est le Joule (J).

1Travail mécanique d’une force constante

A Notion de force constante

Une force constante est une force qui garde les mêmes caractéristiques (direction, sens, norme) au cours du temps.

La force poids d’un solide, la réaction normale d’une table sont des forces constantes. En général, la force de frottement est aussi considérée comme constante.

B Expression du travail d’une force constante

Le travail WAB(F) d’une force constante F, dont le point d’application se déplace de A vers B s’écrit :

 F : la norme de la force exprimée en newton (N)

WAB(F) = F × AB × cos α AB : la distance entre A et B exprimée en mètre (m)

 α : l’angle entre les directions des deux vecteurs F et AB.

 WAB(F) : le travail exprimé en joule (J)

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Le travail sur ce déplacement AB est équivalent au travail sur un déplacement rectiligne :

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Bilan :

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• Si le résultat est positif, on dit que le travail est moteur et la force tend à augmenter la valeur de la vitesse du système.

• Si le résultat est négatif, on dit que le travail est résistant et la force tend à diminuer la valeur de la vitesse du système.

• Si le résultat est nul, on dit que la force ne travaille pas et elle ne modifie pas la norme de la vitesse du système.

EXEMPLE DE CALCUL DE TRAVAIL

Un enfant tire un jouet avec une ficelle tendue, faisant un angle constant α = 0° par rapport à l’horizontale. La valeur de la tension exercée sur le jouet est T = 10 N. Calculer le travail de la force T sur un déplacement AB = 10 m.

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Si l’enfant déplace le jouet sur une distance AB = 10 m, le travail de la force tension T, qui est constante, s’exprime par W(T) = T × AB × cos α = T × AB, puisque α, l’angle entre les directions de la tension et du déplacement vaut 0.

La valeur du travail est W(T) = 10 × 10 soit W(T) = 100 J. Ce résultat est positif donc le travail est moteur.

C Travail du poids

Le poids est une force particulière. Elle est constante, verticale et toujours dirigée vers le bas. Le travail du poids entre deux points A et B dépend de la masse m de l’objet, de la valeur du champ de pesanteur g et de la différence entre l’altitude de départ hA et l’altitude d’arrivée hB :

 m : la masse en kilogramme

WAB(P) = m × g × (hA − hB) g : exprimé en newton par kilogramme g = 10 N.kg−1

 hA et hB : les altitudes en mètre (m)

Le travail est indépendant du chemin suivi. Le poids ne travaille que lors d’un changement d’altitude. Si l’objet descend le travail est moteur ; s’il monte, le travail est résistant.

EXEMPLE

Calculer le travail du poids d’une boule de masse m = 2,5 kg lors d’une chute de 20 m.

Le travail du poids s’exprime par W(P) = m × g × (hA − hB), avec hA − hB = + 20 m,

soit W(P) = 2,5 × 10 × 20 = 500 J.

REMARQUE

Dans les exercices, l’énoncé propose souvent une différence de hauteur h à la place de la différence hA − hB. Il faudra alors écrire W(P) = m × g × h, si l’objet descend (car alors le point de départ est plus haut que le point d’arrivée et hA − hB = h > 0 et W(P) = − m × g × h si l’objet monte.

D Travail d’une réaction

Réaction normale R

La réaction normale est une force constante qui fait un angle de 90° avec le support,

donc α = 90° et cos α = 0. Cette force ne travaille pas.

Réaction tangentielle ou frottement f

On considère toujours des forces de frottement constantes dans les exercices. Cette force est très souvent opposée au déplacement, son travail est résistant : au cours d’un déplacement de A vers B, il s’exprime par W(f) = f × AB = − f × AB, car l’angle formé entre les deux vecteurs vaut 180 ° et le cosinus est égal à – 1.

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2L’énergie cinétique

A Cas d’un point matériel en translation

L’énergie cinétique d’un point matériel est l’énergie qu’il possède du fait de sa masse et de sa vitesse. L’énergie cinétique Ec d’un point matériel en translation de masse m, animé d’une vitesse instantanée v entre deux positions, s’exprime par :

Ec = ½ m.v2

m : la masse en kilogramme (kg)

v : la vitesse instantanée en mètre par seconde (m.s−1)

Ec : l’énergie cinétique en joule (J)

L’énergie cinétique est proportionnelle à la masse. Ainsi, si la masse de l’objet est doublée, alors l’énergie cinétique est aussi doublée. Lors d’un accident, un camion causera plus de dégâts qu’une voiture.

Par contre, l’énergie cinétique est proportionnelle au carré de la vitesse. Ainsi, si la vitesse de l’objet est doublée, alors l’énergie cinétique est multipliée par quatre. Un choc à 60 km.h−1 sera donc beaucoup plus destructeur qu’à 30 km.h−1

REMARQUE

La vitesse doit être exprimée en mètre par seconde. Or elle est souvent donnée en km.h−1. Il faut donc faire une conversion : en divisant la vitesse en km.h−1 par 3,6 pour l’obtenir en m.s−1.

EXEMPLE

Un camion de masse m = 38 tonnes se déplace à vitesse constante v = 90 km.h−1 sur une route droite et horizontale. Calculer l’énergie cinétique du camion.

On peut employer la formule Ec = ½ m.v2 pour calculer son énergie cinétique, puisque le camion a un mouvement de translation.

Il faut convertir les valeurs numériques données pour pouvoir faire l’application numérique : m = 38 tonnes = 3,8 × 104 kg et v = 90 km.h−1 = 25 m.s−1.

Ainsi Ec = 0,5 × 3,8 × 104 × 252 soit Ec = 1,2 × 107 J = 12 MJ.

C’est une énergie énorme : attention en cas d’accident !

B Théorème de l’énergie cinétique

La variation d’énergie cinétique d’un solide en translation entre deux positions A et B, est égale à la somme des travaux des forces extérieures appliquées au solide entre les positions A et B.

EcA->B = EcB – EcA = Σ W(Fext)A->B

Comme c’est un mouvement de translation, l’énergie cinétique s’exprime selon Ec = ½ mv2, ainsi l’expression mathématique est :

EcA->B = EcB − EcA = ½ m.v2B − ½ m.v2A = Σ W(Fext)A->B

où vA et vB sont les vitesses instantanées du solide aux positions A et B

Le travail mécanique des forces permet d’échanger de l’énergie :

– si la somme des travaux des forces extérieures appliquées est positive, le travail est moteur, alors l’énergie cinétique du solide augmente, ainsi que la valeur de sa vitesse ;

– si la somme des travaux des forces extérieures appliquées est négative, le travail est résistant, alors l’énergie cinétique du solide diminue, ainsi que la valeur de sa vitesse ;

– si la somme des travaux des forces extérieures appliquées est nulle, alors l’énergie cinétique est constante et la vitesse ne varie pas.

C Applications du théorème de l’énergie cinétique

Cas de la chute libre

La seule force est la force poids P, dans ce cas.

La force poids ne travaille entre deux positions A et B, que dans le cas d’une variation d’altitude W(P)AB = m.g.(hA – hB).

Si la différence hA – hB > 0, le solide descend, le travail du poids est moteur et la vitesse augmente.

Si la différence hA – hB < 0, le solide monte, le travail du poids est résistant et la vitesse diminue.

EXEMPLE

On lâche une bille de masse m au point A, d’une hauteur hA sans vitesse initiale et on veut trouver sa vitesse au point B placé au sol (hB = 0) placé à la verticale de A.

Le système {bille} est uniquement soumis à son poids puisqu’il est en chute libre. On peut alors écrire le théorème de l’énergie cinétique entre A et B :

EcAB = EcB – EcA = ½ m.v2B − ½ m.v2A = Σ W(Fext)AB = W(P)AB

Cette relation se simplifie car la vitesse initiale est nulle, donc vA = 0 et l’altitude finale est nulle, donc hB = 0.

On obtient ainsi : EcB = ½ m.v2B = m.g.hA, ce qui permet de trouver la vitesse au sol :

vB = 2g.hA.

Action d’une force de frottement

Le travail d’une force de frottement constante f est en général résistant.

Le travail de cette force de frottement constante f d’un point A à un point B s’exprime par :
W(f)AB = f × AB × cos (f,AB).

Or la force frottement est colinéaire et de sens contraire au déplacement donc l’angle formé entre les deux vecteurs vaut constamment 180 °, ainsi, cos (f,AB) = − 1 et donc :

W(f)AB = − f × AB < 0.

EXEMPLE

Un enfant lance une voiture en bois de masse m = 150 g avec une vitesse initiale vA = 0,75 m.s−1 sur une carpette lisse et horizontale. La voiture s’arrête après avoir parcouru une distance AB = 8,2 m.

Déterminer la norme de la force f de frottement constante f.

Le système est {la voiture}.

Trois forces extérieures s’appliquent au système : son poids P, la réaction normale du support R et la force de frottement f.

Schéma :

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Le travail de la réaction normale R et le travail de la force poids P sont nuls car ces deux forces sont constamment orthogonales au déplacement.

Il s’agit d’un mouvement de translation, donc on peut appliquer le théorème de l’énergie cinétique entre A et B, avec deux travaux nuls et une vitesse finale nulle :

EcAB = EcB – EcA = ½ mv2B − ½ mv2A = − ½ mv2A = W(P)AB + W(RN)AB + W(f)AB = W(f)AB

Ainsi, − ½ mv2A = W(f)AB = − f × AB, soit f × AB = ½ mv2A.

On obtient alors la relation permettant de calculer f : f=EcAAB=mvA22AB, soit f=0,15×0,7522×8,2.

La norme de la force de frottement est f = 5,1 mN.

3Applications : la distance d’arrêt d’un véhicule

Lorsqu’un automobiliste se rend compte qu’il est face à un danger, il lui faut un temps de réaction avant d’actionner les freins : pendant ce laps de temps, la voiture continue à avancer d’une distance de réaction (DR).Phys_06_11_stdi

Ensuite, la voiture est freinée, mais elle parcourt la distance DF avant de s’arrêter complètement.

La distance d’arrêt notée (DA) d’un véhicule est égale à la somme de la distance DR parcourue pendant le temps de réaction et la distance DF parcourue pendant le temps de freinage.

Les facteurs ayant une influence sur la distance de réaction DA

Le temps de réaction est estimé à 1 s en situation d’attention soutenue. Si la voiture roule à 30 m.s−1 (108 km.h−1), la voiture avance donc de 30 mètres avant de commencer à freiner. Le temps de réaction peut être accru selon l’état de santé du conducteur (sous traitement, en état d’ébriété, drogué), des conditions météorologiques : visibilité (temps clair, brouillard, pluie, jour/nuit) et en cas d’utilisation d’un téléphone portable.

Les facteurs ayant une influence sur la distance de freinage DF

La distance de freinage dépend surtout de la vitesse du véhicule. Elle peut être modifiée selon l’état de la surface du sol (sèche, humide, grasse, verglacée), des conditions météorologiques, de l’état des suspensions, de l’état des pneus, de l’état des freins.