Trigonométrie

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Fiches
Classe(s) : 2de | Thème(s) : Résoudre des problèmes de géométrie

La trigonométrie étudiée en Seconde examine les relations qui existent entre les côtés d’un triangle, notamment rectangle, et ses angles. Connaissant les angles d’un triangle rectangle, on peut en ­déduire ses côtés et vice-versa.

I Définitions du sinus et du cosinus d’un angle

05294_C06_04

Dans un triangle rectangle, on considère un angle aigu B^.

sinB^=côté opposéhypoténuse et cosB^=côté adjacenthypoténuse

La tangente de l’angle B^ est le quotient du sinus par le cosinus :

tanB^=sinB^cosB^=côté opposécôté adjacent

Dans le triangle ABC rectangle en A : sinB^=CACB, cosB^=BABC et tanB^=CABA.

II Propriétés

À noter

Le complémentaire de B^ est 90° – B^.

Le sinus d’un angle est égal au cosinus de son complémentaire.

Pour tout angle aigu B^ :

0<cosB^1 et 0sinB^<1

(cosB^)2+(sinB^)2=1

En effet (cosB^)2+(sinB^)2=(BABC)2+(CACB)2=BA2BC2+CA2CB2=BA2+CA2CB2=1,

car d’après le théorème de Pythagore BC2 + CA2 = CB2.

Dans un quart de cercle de rayon 1, l’hypoténuse [BC] du triangle rectangle

ABC est égale à 1. Donc AC06_Eqn025 et AC06_Eqn026.

On voit que lorsque l’angle B^ augmente, AC06_Eqn028 augmente et AC06_Eqn029 diminue.

PB_Bac_05294_Mat2_TT_p151-180_C06_Groupe_Schema_0

Méthode

Trouver des valeurs remarquables de sinus, cosinus et tangente

05294_C06_07

1. On sait que dans un triangle équilatéral de côté 1 la hauteur mesure 32.

a. Démontrer que sin60°=32 et sin30°=12.

b. En déduire les valeurs de cos 60°, cos 30°, tan 30° et tan 60°.

05294_C06_08

2. On sait que dans un carré de côté 1 la diagonale mesure 2. En déduire que sin45°=cos45°=12 et calculer la valeur de tan 45°.

conseils

1. a. Utilisez le triangle AHB sachant que les angles d’un triangle équilatéral mesurent chacun 60°.

b. Utilisez les angles complémentaires.

2. Utilisez le triangle ABD.

solution

1. a. Dans le triangle rectangle ABH, sin60°=sinA^=BHAB=321=32.

(BH) est la médiatrice de [AC] donc AH=12 et sin30°=sin(ABH^)=AH1=12.

b. Comme les angles de 60° et 30° sont complémentaires :

cos60°=sin30°=12 et cos30°=sin60°=32.

Puis tan30°=sin30°cos30°=1232=12×23=13 et

tan60°=sin60°cos60°=3212=32×21=3.

2. Dans le triangle rectangle ABD, sinABD^=sin45°=ADBD=12=cos45°

car 45° est son propre complémentaire. On en déduit : tan45°=sin45°cos45°=1.