Trigonométrie, formules d’Euler et de Moivre

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Fiches
Classe(s) : Tle Générale | Thème(s) : Applications des nombres complexes


Utilisées dans , les formules d’Euler et de Moivre permettent de simplifier des calculs trigonométriques dans .

I Formules de trigonométrie

Pour tous x;y2, on a les formules suivantes :

Formules d’addition

 cosx+y=cosxcosysinxsiny

 sinx+y=sinxcosy+sinycosx

 cosxy=cosxcosy+sinxsiny

 sinxy=sinxcosysinycosx

Formules de duplication

 cos2x=cos2xsin2x=2cos2x1=12sin2x

 sin2x=2sinxcosx

II Formules d’Euler et de Moivre

1 Exponentielle imaginaire

Soit zU, c’est-à-dire tel que z est un nombre complexe de module 1.

z=cosθ+isinθ et, en notant eiθ=cosθ+isinθ, on a z=eiθ.

eiθ est la notation de l’exponentielle du nombre complexe z d’argument θ.

Propriétés : Soient θ;θ2 et n.

PB_Bac_06467_MathsExpT_gene_p371-402_C15_Groupe_Schema_0

À noter

Les propriétés des puissances s’appliquent à l’exponentielle imaginaire.

2 Formules d’Euler

Soit θ. On a :

cosθ=eiθ+eiθ2

sinθ=eiθeiθ2i

3 Formule de Moivre

Soient θ et n.

On a eiθn=einθ, d’où, pour tout n :

cosθ+isinθn=cosnθ+isinnθ

À noter

Les formules d’Euler et de Moivre permettent de linéariser des expressions trigonométriques et donc de simplifier certains calculs.

Méthodes

1 Démontrer les formules d’Euler

Montrer que, pour tout θ :

cosθ=eiθ+eiθ2(1) et sinθ=eiθeiθ2i(2).

Conseils

Exprimez eiθ et eiθ en fonction de cosθ et de sinθ, puis déduisez-en les formules.

Solution

Soit θ.

On a eiθ=cosθ+isinθ et eiθ=cosθ+isinθ=cosθisinθ.

eiθ+eiθ=cosθ+isinθ+cosθisinθ=2cosθ et on obtient (1).

eiθeiθ=cosθ+isinθcosθisinθ=2isinθ et on obtient (2).

2 Démontrer une formule de duplication

Montrer les deux égalités cos2x=1+cos2x2 et sin2x=1cos2x2.

À partir de chacun des résultats, retrouver et montrer une formule de duplication de cos(2x).

Conseils

Pour les deux égalités, pensez à utiliser les formules d’Euler.

Solution

 Soit x. D’après les formules d’Euler, on a cosx=eix+eix2.

On a donc cosx2=eix+eix22=14eix+eix2=14e2ix+2×eix×eix+e2ix=14e2ix+e2ix+2=12e2ix+e2ix2+1=cos2x+12carcos2x=e2ix+e2ix2.

À noter

eix2=e2ix ; eix2=e2ix ; eix×eix=eixix=e0=1.

On en déduit que cos2x+1=2cos2x, donc que cos2x=2cos2x1.

 Soit x. D’après les formules d’Euler, on a sinx=eixeix2i.

On a donc sinx2=eixeix2i2=14eixeix2=14e2ix2×eix×eix+e2ix=14e2ix+e2ix2=121e2ix+e2ix2=1cos2x2

car 2i2=4 et cos2x=e2ix+e2ix2.

On en déduit que 1cos2x=2sin2x, donc que cos2x=12sin2x.