Trouver un point d’inflexion à une courbe

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Convexité
Corpus Corpus 1
Trouver un point d&rsquo inflexion &agrave   une  courbe

FB_Bac_98616_MatT_LES_014

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Rappels de cours

1D&eacute finition d&rsquo un point d&rsquo inflexion

&thinsp On dit que admet un point d&rsquo inflexion en a si change de concavit&eacute en a. Cela signifie que est convexe puis concave ou concave puis convexe.

&thinsp En un point d&rsquo inflexion, la courbe traverse sa tangente.

2Propri&eacute t&eacute s du point d&rsquo inflexion

&thinsp admet un point d&rsquo inflexion en a si et seulement si change de sens de variation en a.

&thinsp admet un point d&rsquo inflexion en a si et seulement si s&rsquo annule en a, en changeant de signe.

M&eacute thode

Visualiser un point d&rsquo inflexion

La courbe trac&eacute e ci-dessous avec sa tangente au point A d&rsquo abscisse 2 admet-elle un point d&rsquo inflexion  ?


Conseils
  • Graphiquement, un point d&rsquo inflexion se reconna&icirc t en observant un changement de concavit&eacute   : la courbe est convexe puis concave ou concave puis convexe.
  • On peut aussi observer qu&rsquo en un point d&rsquo inflexion, la courbe traverse sa tangente.
Solution

Le point A, d&rsquo abscisse 2, est un point d&rsquo inflexion de la courbe. En effet, la fonction repr&eacute sent&eacute e est concave avant ce point, convexe apr&egrave s ce point. On remarque aussi qu&rsquo au point A, la courbe traverse sa tangente.

Montrer l&rsquo existence d&rsquo un point d&rsquo inflexion

Montrer que la fonction d&eacute finie sur par  :

,

admet un unique point d&rsquo inflexion A.

Pr&eacute ciser la position de la courbe repr&eacute sentative de avec sa tangente en A.

Conseils

Pour mettre en &eacute vidence un point d&rsquo inflexion, on peut montrer un changement du sens de variation de , ou bien un changement de signe de .

Le plus souvent on proc&egrave de avec la d&eacute riv&eacute e seconde, d&rsquo autant plus si les calculs sont simples. C&rsquo est le cas ici.

Solution

Apr&egrave s calculs, on obtient  :

,&ensp puis&ensp .

La d&eacute riv&eacute e seconde s&rsquo annule en 3, est n&eacute gative sur , positive sur .

Il y a donc un unique point d&rsquo inflexion en 3.

Soit A ce point d&rsquo inflexion. Le signe de la d&eacute riv&eacute e seconde, observ&eacute ci-dessus, montre &eacute galement que est concave avant A, convexe apr&egrave s. Puisque la courbe traverse sa tangente en A, elle est situ&eacute e au-dessous de cette tangente sur , et au-dessus sur


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