Trouver un point d’inflexion à une courbe

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Convexité
Corpus Corpus 1
Trouver un point d’inflexion à une courbe

FB_Bac_98616_MatT_LES_014

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Rappels de cours

1Définition d’un point d’inflexion

 On dit que admet un point d’inflexion en a si change de concavité en a. Cela signifie que est convexe puis concave ou concave puis convexe.

 En un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.

2Propriétés du point d’inflexion

admet un point d’inflexion en a si et seulement si change de sens de variation en a.

admet un point d’inflexion en a si et seulement si s’annule en a, en changeant de signe.

Méthode

Visualiser un point d’inflexion

La courbe tracée ci-dessous avec sa tangente au point A d’abscisse 2 admet-elle un point d’inflexion ?


Conseils
  • Graphiquement, un point d’inflexion se reconnaît en observant un changement de concavité : la courbe est convexe puis concave ou concave puis convexe.
  • On peut aussi observer qu’en un point d’inflexion, la courbe traverse sa tangente.
Solution

Le point A, d’abscisse 2, est un point d’inflexion de la courbe. En effet, la fonction représentée est concave avant ce point, convexe après ce point. On remarque aussi qu’au point A, la courbe traverse sa tangente.

Montrer l’existence d’un point d’inflexion

Montrer que la fonction définie sur par :

,

admet un unique point d’inflexion A.

Préciser la position de la courbe représentative de avec sa tangente en A.

Conseils

Pour mettre en évidence un point d’inflexion, on peut montrer un changement du sens de variation de , ou bien un changement de signe de .

Le plus souvent on procède avec la dérivée seconde, d’autant plus si les calculs sont simples. C’est le cas ici.

Solution

Après calculs, on obtient :

, puis .

La dérivée seconde s’annule en 3, est négative sur , positive sur .

Il y a donc un unique point d’inflexion en 3.

Soit A ce point d’inflexion. Le signe de la dérivée seconde, observé ci-dessus, montre également que est concave avant A, convexe après. Puisque la courbe traverse sa tangente en A, elle est située au-dessous de cette tangente sur , et au-dessus sur


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