Utiliser l’inverse d’une matrice

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
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Utiliser l’inverse d’une matrice

FB_Bac_98617_MatT_S_060

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Rappels de cours

Dans toute la suite, on considère des matrices carrées d’ordre et la matrice identité

1Matrices inversibles

Astuce Pour déter­miner , on peut utiliser la calculatrice.

Dire qu’une matrice est inversible signifie qu’il existe une matrice, notée , telle que .

à noter ! En général

théorème Soit une matrice inversible, et des matrices telles que l’équation , dont l’inconnue est , ait un sens. Alors .

théorème Toute matrice diagonale dont aucun élément diagonal n’est nul est inversible. Son inverse est égale à la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les inverses des précédents.

2Résolution de systèmes

Le système au triplet inconnu s’écrit sous forme matricielle où :

, , .

Ce système a une solution unique si et seulement si est inversible. On a alors .

3Calcul de la puissance d’une matrice carrée

Soit une matrice carrée. Supposons qu’il existe deux matrices carrées et vérifiant les conditions « est inversible et  ».

Alors, pour tout entier naturel on a  .

remarque Cette décomposition de est particulièrement utile si est diagonale. En effet les éléments diagonaux de sont les éléments diagonaux de élevés à la puissance .

Méthode

Utiliser des matrices inversibles

On veut déterminer une équation cartésienne du plan passant par les points dans un repère de l’espace. On admet qu’il ne passe pas par l’origine.

1. Démontrer qu’une équation de ce plan est de la forme

.

2. En déduire un système de trois équations à trois inconnues dont est une solution.

3. Écrire le système précédent sous forme matriciel et conclure.

Conseils

1.(>Fiche52)

2. Traduisez l’appartenance des trois points au plan.

Solution

1. Une équation cartésienne d’un plan est de la forme . Comme il ne contient pas l’origine, .

L’équation précédente est donc équivalente à qui est bien du type demandé.

2. On obtient le système .

La première équation se trouve ainsi :

.

Les autres se trouvent de façon analogue.

3. Posons .

Le système précédent équivaut à l’équation matricielle qui a pour solution . Une calculatrice (ou un logiciel de calcul formel) fournit et donc .

Une équation cartésienne du plan est donc .

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