Utiliser l’inverse d’une matrice

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Matrices et applications
Corpus Corpus 1
Utiliser l&rsquo inverse d&rsquo une matrice

FB_Bac_98617_MatT_S_060

60

127

6

Rappels de cours

Dans toute la suite, on consid&egrave re des matrices carr&eacute es d&rsquo ordre et la matrice identit&eacute

1Matrices inversibles

Astuce Pour d&eacute ter&shy miner , on  peut utiliser la calculatrice.

Dire qu&rsquo une matrice est inversible signifie qu&rsquo il existe une matrice, not&eacute e , telle que .

&agrave noter ! En g&eacute n&eacute ral

th&eacute or&egrave me&ensp Soit une matrice inversible, et des matrices telles que l&rsquo &eacute quation , dont l&rsquo inconnue est , ait un sens. Alors .

th&eacute or&egrave me&ensp Toute matrice diagonale dont aucun &eacute l&eacute ment diagonal n&rsquo est nul est inversible. Son inverse est &eacute gale &agrave la matrice diagonale dont les &eacute l&eacute ments diagonaux sont les inverses des pr&eacute c&eacute dents.

2R&eacute solution de syst&egrave mes

Le syst&egrave me au triplet inconnu s&rsquo &eacute crit sous forme matricielle o&ugrave   :

, , .

Ce syst&egrave me a une solution unique si et seulement si est inversible. On a alors .

3Calcul de la puissance d&rsquo une matrice carr&eacute e

Soit une matrice carr&eacute e. Supposons qu&rsquo il existe deux matrices carr&eacute es et v&eacute rifiant les conditions &laquo est inversible et   &raquo .

Alors, pour tout entier naturel on a  .

remarque  Cette d&eacute composition de est particuli&egrave rement utile si est diagonale. En effet les &eacute l&eacute ments diagonaux de sont les &eacute l&eacute ments diagonaux de &eacute lev&eacute s &agrave la puissance .

M&eacute thode

Utiliser des matrices inversibles

On veut d&eacute terminer une &eacute quation cart&eacute sienne du plan passant par les points dans un rep&egrave re de l&rsquo espace. On admet qu&rsquo il ne passe pas par l&rsquo origine.

1.  D&eacute montrer qu&rsquo une &eacute quation de ce plan est de la forme

.

2.  En d&eacute duire un syst&egrave me de trois &eacute quations &agrave trois inconnues dont est une solution.

3.  &Eacute crire le syst&egrave me pr&eacute c&eacute dent sous forme matriciel et conclure.

Conseils

1.(&gt Fiche52)

2.  Traduisez l&rsquo appartenance des trois points au plan.

Solution

1.  Une &eacute quation cart&eacute sienne d&rsquo un plan est de la forme . Comme il ne contient pas l&rsquo origine, .

L&rsquo &eacute quation pr&eacute c&eacute dente est donc &eacute quivalente &agrave qui est bien du type demand&eacute .

2.  On obtient le syst&egrave me .

La premi&egrave re &eacute quation se trouve ainsi  :

.

Les autres se trouvent de fa&ccedil on analogue.

3.  Posons .

Le syst&egrave me pr&eacute c&eacute dent &eacute quivaut &agrave l&rsquo &eacute quation matricielle qui a pour solution . Une calculatrice (ou un logiciel de calcul formel) fournit et donc .

Une &eacute quation cart&eacute sienne du plan est donc .

>>