Utiliser la formule des probabilités totales

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Corpus Corpus 1
Utiliser la formule des probabilités totales

FB_Bac_98617_MatT_S_032

32

73

1

Rappels de cours

1Construire un arbre de probabilité pondéré

On considère des événements non vides, deux à deux disjoints et dont la réunion est l’univers tout entier.

On dit que ces événements forment une partition de , ou qu’ils forment un système complet d’événements de .


à noter ! On procède de la même manière pour et  !

Pour tout événement , on calcule  en multipliant les probabilités situées sur les branches de l’arbre qui arrivent à en passant par .

remarque La somme des probabilités des branches de même origine est égale à 1. Par exemple .

2Formule des probabilités totales

Dans les mêmes conditions que ci-dessus, la probabilité de X est donnée par la formule des probabilités totales :

remarque Souvent, on utilise la formule des probabilités totales lorsqu’on considère un événement et son contraire (blanc, noir ; pair, impair ; défectueux, non défectueux ; etc.). Ainsi :

Méthode

Déterminer des probabilités dans un tirage de boules associé au jet d’un dé

Une urne contient 3 boules noires et 2 boules blanches.

Une urne contient 4 boules noires et 6 boules blanches.

On jette un dé non pipé ; si c’est le 1 ou le 6 qui sort, on prélève une boule au hasard dans l’urne , sinon on en prélève une dans l’urne .

1. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?

2. Quelle est la probabilité que l’urne choisie soit l’urne sachant que l’on a tiré une boule blanche ?

Conseil

1. Prélever une boule dans équivaut à avoir tiré 1 ou 6 au dé ; donc prélever une boule dans équivaut à avoir tiré 2, 3, 4 ou 5.

Solution

1. Notons l’événement : « La boule tirée est blanche » et A l’événement : « On prélève une boule dans l’urne A ».

On construit l’arbre ci-contre.

donc .

De plus, les compositions des urnes font que :

et .

Donc :

Remarque La valeur de n’apparaît pas dans l’arbre !

2. On cherche et on trouve .

Par conséquent :

.

>>