Utiliser la loi binomiale

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Probabilités conditionnelles
Corpus Corpus 1
Utiliser la loi binomiale

FB_Bac_98617_MatT_S_034

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Rappels de cours

1Définition de la loi binomiale de paramètres n et p

Considérons une expérience aléatoire qui consiste à répéter fois une même action, les répétitions étant indépendantes. Une action produit un succès avec une probabilité .

 Soit la variable aléatoire comptant le nombre de succès au cours des répétitions.

La loi de est alors la loi binomiale de paramètreset.

 On a et, pour tout :

À noter ! On pose habituellement .

On écrit que suit la loi .

Propriété Si une variable aléatoire X suit la loi binomiale, alors on a :

et .

remarques

  • La loi binomiale s’appelle aussi la loi du nombre de succès au cours d’une répétition de épreuves identiques et indépendantes.
  • Le modèle {succès, échec} répétitif s’appelle un schéma de Bernoulli.

2Arbre de probabilité


L’arbre ci-contre donne un aperçu de la modélisation d’une expérience à 3 répétitions dont l’issue est un ­succès (S) ou un échec ().

signifie ici qu’il y a eu deux succès.

  • Ainsi

Méthode

Utiliser une loi binomiale

Des coques pour téléphone sont produites à 70 % par une machine et à 30 % par une machine .

5 % des coques et 10 % des coques ont un défaut.

1. On prélève une coque au hasard dans un stock. Quelle est la probabilité qu’elle ait un défaut ?

2. On choisit dix coques dans un stock. Celui-ci est suffisamment important pour que l’on puisse assimiler ce choix à dix tirages avec remise d’une coque.

Quelle est la probabilité d’avoir au moins deux coques ayant un défaut ? Donner une valeur approchée à .

Conseils

1. Appliquez la formule des probabilités totales.

2. Utilisez une loi binomiale et pensez à l’événement contraire.

Solution

1. L’arbre ci-contre résume la situation. Par la formule des probabilités totales, on a :

2. Soit la variable aléatoire comptant le nombre de coques ayant un défaut quand on en prélève dix au hasard dans le stock.

La probabilité pour qu’une coque prélevée soit défectueuse est égale à 0,065 à chaque prélèvement.

On en déduit que la loi de est la loi binomiale de paramètres 10 et 0,065.

On cherche  :

La calculatrice fournit :

Par conséquent : .

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