Utiliser la loi exponentielle

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Corpus Corpus 1
Utiliser la loi exponentielle

FB_Bac_98617_MatT_S_037

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Rappels de cours

1Définition

Soit un réel strictement positif.

La loi exponentielle de paramètreλ est la loi dont la densité est définie par :


  • On a alors, pour tout  :


  • Pour tous réels et avec  :

  •  et .

2Durée de vie sans vieillissement

théorème Une variable aléatoire exponentielle vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement.

Autrement dit, pour tous nombres et tels que , on a :

Cela signifie que si l’on considère comme la mesure de la durée de vie d’un individu (atome, constituant de la matière…), alors la durée mesurée entre les instants et est indépendante de ces instants. L’âge de l’individu à l’instant n’influence pas sa durée de vie jusqu’à un instant ultérieur .

Méthode

Étudier la durée de vie d’un composant

La durée de vie d’un composant électronique, exprimée en années, est mesurée par une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre .

1. Sachant que , déterminer .

Dans la suite on prend .

2. Calculer la probabilité pour que le composant ait cessé de fonctionner au bout de deux ans.

3. Combien de temps peut-on espérer compter sur le fonctionnement d’un composant ?

4. Si le composant fonctionne toujours au bout de 2 ans, quelle est la probabilité qu’il fonctionne encore 4 ans plus tard ?

Conseils

2. Le composant a donc une durée de vie au plus égale à 2 ans !

4. Pensez à la durée de vie sans vieillissement.

Solution

1. On a .

Donc .

2. On cherche . On trouve .

Il y a pratiquement une chance sur trois pour que le composant ait cessé de fonctionner au bout de deux ans.

3. L’espérance de étant , on peut espérer que le composant fonctionnera pendant 5 ans.

4. Si le composant fonctionne 4 ans de plus, alors sa durée de vie aura été de 6 ans au moins. De plus, sa durée de vie est d’au moins 2 ans. On cherche donc . D’après la propriété de durée de vie sans vieillissement, on sait que :

Si le composant fonctionne toujours au bout de deux ans, il y a 45 % de chances pour qu’il fonctionne toujours quatre ans plus tard.

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