Utiliser la loi normale

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Utiliser la loi normale

FB_Bac_98616_MatT_LES_039

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Rappels de cours

1Densité de la loi normale

 On appelle loi normale de moyenne et d’écart type la loi de probabilité de densité (ne pas retenir).

 On la note et on l’appelle loi de Laplace-Gauss ou loi de Gauss. La courbe de est en forme de cloche (>dépliant), on l’appelle parfois gaussienne.

2Valeurs remarquables

Si suit une loi normale  :

Méthodes

Ne pas confondre écart type et variance

Dans la notation , le deuxième nombre est la variance. Pour les calculs, on a besoin de l’écart type qui est la racine carrée de la variance. Par exemple, si suit une loi normale , alors l’écart type est égal à .

Utiliser une calculatrice

est une variable aléatoire qui suit une loi .

a. Calculer la probabilité que soit comprise entre et .

b. Quel est le neuvième décile ?

Conseils
  • La loi normale étant une loi continue, les probabilités correspondent à des aires qui se calculent avec une intégrale (>fiche25). Le calcul de l’intégrale avec une primitive étant ici impossible, on utilise une calculatrice ou un tableur.
  • Le neuvième décile est la valeur d telle que .
Solution

a..

  • Calculatrice TI

Dans le menu distrib (touches et ), normalFRép (115,125,120,10).

  • Calculatrice CASIO

Dans le menu STAT, choisir DIST puis NORM et Ncd. Saisir les bornes 115 et 125, puis l’écart type 10 et la moyenne 120.

b..

  • Calculatrice

Dans le menu distrib (touches et ) : FracNormale (0. 9,120,10).

  • Calculatrice CASIO

Dans le menu STAT, choisir DIST puis NORM et InvN. Saisir 0. 9, puis l’écart type 10 et la moyenne 120.

Connaître et utiliser les valeurs de référence

On suppose que la taille d’un bébé né à terme suit une loi normale de moyenne et de variance .

Calculer la probabilité que la taille d’un bébé né à terme soit inférieure à .

Conseils

Les trois valeurs citées dans les rappels de cours sont à connaître car elles permettent de trouver certaines probabilités sans calculs. Par exemple, la première signifie qu’environ 68,3 % des valeurs sont à moins d’une fois l’écart type de la moyenne.

Solution

La variance est 4 cm2, donc l’écart type est 2 cm.

La probabilité que la taille soit située à moins d’un écart type de la moyenne, c’est-à-dire entre et , est environ égale à .

La probabilité que la taille soit inférieure à et la probabilité qu’elle soit supérieure à sont égales, par symétrie de la loi normale par rapport à sa moyenne, à .

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