Utiliser la loi normale centrée réduite

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
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Utiliser la loi normale centrée réduite

FB_Bac_98616_MatT_LES_040

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Rappels de cours

1Densité de la loi normale centre réduite

Si suit une loi , alors suit une loi , appelée loi normale centrée réduite de moyenne 0, et d’écart type 1.

La densité de cette loi est la fonction 

2 Représentation graphique et valeurs remarquables


 Si suit la loi normale centrée réduite  :

L’aire égale à est coloriée en jaune ci-contre :



Méthodes

Connaître et utiliser la valeur de référence

On suppose que la performance annuelle d’un fonds de placement suit une loi normale de moyenne (rendement annuel moyen) et d’écart type (volatilité annuelle moyenne).

Dans le cas où et , dans quel intervalle peut-on dire que la performance du fonds va évoluer pendant un an, avec une probabilité de  ?

Conseils

1,96 est une valeur importante à connaître. Elle est notamment utilisée avec les intervalles de fluctuation et de confiance (>fiches43et44).

Connaissant la probabilité 0,95, elle permet de revenir aux bornes de l’intervalle.

Solution

Avec une probabilité de valeur , la variable centrée réduite est dans l’intervalle . Donc la performance du fonds est dans l’intervalle :

.

Finalement, il y a de chances de trouver la performance du fonds dans .

Se ramener à la loi normale standard

On suppose que dans une population donnée, le poids moyen d’un bébé né à terme suit une loi normale de moyenne 3,02 kg et d’écart type 0,5 kg.

Quelle est la probabilité qu’un bébé né à terme dans cette population ait un poids supérieur à 4 kg ?

Conseils

Il est possible de calculer cette probabilité directement (>fiche39). Ici, on va effectuer le changement de variable afin d’utiliser la valeur remarquable.

Solution

On pose le changement de variable :

.

On a alors :

.

Comme , on en déduit que :

.

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