Utiliser la loi normale centrée réduite

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Notion de loi à densité
Corpus Corpus 1
Utiliser la loi normale centr&eacute e r&eacute duite

FB_Bac_98616_MatT_LES_040

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Rappels de cours

1Densit&eacute de la loi normale centre r&eacute duite

Si suit une loi , alors suit une loi , appel&eacute e loi normale centr&eacute e r&eacute duite de moyenne 0, et d&rsquo &eacute cart type 1.

La densit&eacute de cette loi est la fonction&ensp

2 Repr&eacute sentation graphique et valeurs remarquables


&thinsp Si suit la loi normale centr&eacute e r&eacute duite   :

L&rsquo aire &eacute gale &agrave est colori&eacute e en jaune ci-contre  :

&thinsp

M&eacute thodes

Conna&icirc tre et utiliser la valeur de r&eacute f&eacute rence

On suppose que la performance annuelle d&rsquo un fonds de placement suit une loi normale de moyenne (rendement annuel moyen) et d&rsquo &eacute cart type (volatilit&eacute annuelle moyenne).

Dans le cas o&ugrave et , dans quel intervalle peut-on dire que la performance du fonds va &eacute voluer pendant un an, avec une probabilit&eacute de   ?

Conseils

1,96 est une valeur importante &agrave conna&icirc tre. Elle est notamment utilis&eacute e avec les intervalles de fluctuation et de confiance (&gt fiches43et44).

Connaissant la probabilit&eacute 0,95, elle permet de revenir aux bornes de l&rsquo intervalle.

Solution

Avec une probabilit&eacute de valeur , la variable centr&eacute e r&eacute duite est dans l&rsquo intervalle . Donc la performance du fonds est dans l&rsquo intervalle  :

.

Finalement, il y a de chances de trouver la performance du fonds dans .

Se ramener &agrave la loi normale standard

On suppose que dans une population donn&eacute e, le poids moyen d&rsquo un b&eacute b&eacute n&eacute &agrave terme suit une loi normale de moyenne 3,02  kg et d&rsquo &eacute cart type 0,5  kg.

Quelle est la probabilit&eacute qu&rsquo un b&eacute b&eacute n&eacute &agrave terme dans cette population ait un poids sup&eacute rieur &agrave 4  kg  ?

Conseils

Il est possible de calculer cette probabilit&eacute directement (&gt fiche39). Ici, on va effectuer le changement de variable afin d&rsquo utiliser la valeur remarquable.

Solution

On pose le changement de variable  :

.

On a alors  :

.

Comme , on en d&eacute duit que  :

.

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