Utiliser la loi normale générale

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Corpus Corpus 1
Utiliser la loi normale générale

FB_Bac_98617_MatT_S_039

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Rappels de cours

1Loi normale

attention ! On parle des paramètres µ et et de la loi ).

Soit et deux réels.

Dire qu’une variable aléatoire a pour loi la loi normale de paramètres et signifie que la variable aléatoire suit la loi normale centrée et réduite, c’est-à-dire .

On dit alors que a pour loi la loi.

2Espérance, écart type et variance de la loi normale

à noter ! Les calculs sur peuvent toujours se ramener à des calculs sur une loi .

Si une variable aléatoire suit une loi normale de paramètres et , alors :

  • et .
  • Pour tous réels et  :

3Valeurs remarquables


4Théorème de Moivre‑Laplace

Soit une variable aléatoire qui suit une loi binomiale de paramètres et . Si est suffisamment grand, alors la loi de est approximativement la loi .

Méthode

Étudier la normalité d’une production

Des poules pondent des œufs dont seuls sont hors norme. On prélève 3 600 œufs et on estime que la production est suffisamment grande pour assimiler le prélèvement à 3 600 tirages indépendants avec remise. Soit le nombre d’œufs hors norme prélevés.

1. Quelle est la loi de probabilité de  ?

2. On souhaite approximer la loi de par la loi normale de paramètres 360 et . Justifier ces paramètres.

3. Calculer alors la probabilité pour que, sur le prélèvement de 3 600 œufs, il y en ait entre 324 et 396 qui soient hors norme.

Conseils

1. Pensez à une loi binomiale.

2. Une loi normale est caractérisée par sa moyenne et son écart type.

3. Il suffit de se ramener à une loi normale centrée réduite ou d’utiliser une calculatrice.

Solution

1. La variable aléatoire compte le nombre de succès lorsqu’on effectue 3 600 épreuves identiques et indépendantes. Le succès d’une épreuve est « L’œuf prélevé est hors norme », dont la probabilité est égale à 0,1. Par conséquent, suit la loi binomiale de paramètres 3 600 et 0,1.

2. Le nombre d’épreuves étant suffisamment grand, le théorème de Moivre-Laplace suggère l’approximation de la loi par la loi d’écart-type , c’est-à-dire 18.

3. On cherche . Puisque suit une loi normale, alors suit une loi normale centrée et réduite. On calcule alors , c’est-à-dire

astuce

Il y a donc environ de chances pour que, dans le lot de 3 600 œufs, il y ait entre 324 et 396 œufs hors norme.

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