Utiliser la notion de continuité d’une fonction

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Fiches
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle
Corpus Corpus 1
Utiliser la notion de continuité d&rsquo une?fonction

FB_Bac_98616_MatT_LES_008

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Rappels de cours

1Continuité des fonctions usuelles

?&thinsp Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu&rsquo elle est définie sur et que sa courbe peut être tracée sans lever le crayon.

?&thinsp Les fonctions obtenues avec des opérations sur les fonctions usuelles sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

exemples Ainsi, les fonctionspolynômes sont continues sur et les fonctionsrationnelles sont continues sur les intervalles où le dénominateur ne s&rsquo annule pas.

2Théorème de la valeur intermédiaire

Si est une fonction continue et strictement croissante ou strictement décroissante sur un intervalle , alors pour tout réel compris entre et , l&rsquo équation admet une unique solution dans.

Méthodes

Exploiter les informations d&rsquo un tableau de variations

Soit la fonction définie sur dont on donne le tableau de variations. Déterminer le nombre de racines de dans , puis donner le signe de sur .


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Conseils

En pratique, le théorème de la valeur intermédiaire s&rsquo utilise avec un tableau de variations puisqu&rsquo on convient qu&rsquo une flèche dans un tel tableau sous-entend la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l&rsquo intervalle considéré. Le tableau permet de trouver le nombre de solutions d&rsquo une équation du type . Les racines d&rsquo une fonction sont les solutions de l&rsquo équation .

Solution

Sur l&rsquo intervalle , la fonction décroît de 3 vers . On trouve donc une racine dans ce premier intervalle.

Sur l&rsquo intervalle , la fonction croît de vers 2. On trouve donc une deuxième racine dans cet intervalle.

Enfin, 10 est une troisième racine (par simple lecture du tableau de variations).

Ainsi, admet trois racines dans l&rsquo intervalle .

Le signe de est donc le suivant?:

  • si , alors ?
  • si , alors .

Donner un encadrement ou une valeur approchée d&rsquo une?solution d&rsquo équation

Soit la fonction définie sur par?:

.

On admet que est décroissante et qu&rsquo elle admet une unique racine dans l&rsquo intervalle .

Donner un encadrement puis une valeur approchée de cette racine à près.

Conseils

Les valeurs approchées s&rsquo obtiennent avec la table de valeurs de la calculatrice. On saisit l&rsquo expression de la fonction puis on lit les valeurs approchées.

Solution
  • À l&rsquo aide de la calculatrice, on obtient?:

et .

Par conséquent, .

  • Un calcul supplémentaire est nécessaire pour obtenir une valeur approchée à 0,1 près de car rien ne permet de dire si la valeur approchée est 0,8 ou 0,9.

On calcule l&rsquo image de ?:

.

Cela permet de conclure que?: .

Une valeur approchée de près est donc .

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