Utiliser la notion de continuité d’une fonction

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Fiches
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle
Corpus Corpus 1
Utiliser la notion de continuité d’une?fonction

FB_Bac_98616_MatT_LES_008

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Rappels de cours

1Continuité des fonctions usuelles

? Une fonction est continue sur un intervalle lorsqu’elle est définie sur et que sa courbe peut être tracée sans lever le crayon.

? Les fonctions obtenues avec des opérations sur les fonctions usuelles sont continues sur les intervalles où elles sont définies.

exemples Ainsi, les fonctionspolynômes sont continues sur et les fonctionsrationnelles sont continues sur les intervalles où le dénominateur ne s’annule pas.

2Théorème de la valeur intermédiaire

Si est une fonction continue et strictement croissante ou strictement décroissante sur un intervalle , alors pour tout réel compris entre et , l’équation admet une unique solution dans.

Méthodes

Exploiter les informations d’un tableau de variations

Soit la fonction définie sur dont on donne le tableau de variations. Déterminer le nombre de racines de dans , puis donner le signe de sur .


 
Conseils

En pratique, le théorème de la valeur intermédiaire s’utilise avec un tableau de variations puisqu’on convient qu’une flèche dans un tel tableau sous-entend la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré. Le tableau permet de trouver le nombre de solutions d’une équation du type . Les racines d’une fonction sont les solutions de l’équation .

Solution

Sur l’intervalle , la fonction décroît de 3 vers . On trouve donc une racine dans ce premier intervalle.

Sur l’intervalle , la fonction croît de vers 2. On trouve donc une deuxième racine dans cet intervalle.

Enfin, 10 est une troisième racine (par simple lecture du tableau de variations).

Ainsi, admet trois racines dans l’intervalle .

Le signe de est donc le suivant?:

  • si , alors ?;
  • si , alors .

Donner un encadrement ou une valeur approchée d’une?solution d’équation

Soit la fonction définie sur par?:

.

On admet que est décroissante et qu’elle admet une unique racine dans l’intervalle .

Donner un encadrement puis une valeur approchée de cette racine à près.

Conseils

Les valeurs approchées s’obtiennent avec la table de valeurs de la calculatrice. On saisit l’expression de la fonction puis on lit les valeurs approchées.

Solution
  • À l’aide de la calculatrice, on obtient?:

et .

Par conséquent, .

  • Un calcul supplémentaire est nécessaire pour obtenir une valeur approchée à 0,1 près de car rien ne permet de dire si la valeur approchée est 0,8 ou 0,9.

On calcule l’image de ?:

.

Cela permet de conclure que?: .

Une valeur approchée de près est donc .

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