Utiliser la notion de fonction dérivée

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Fiches
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle
Corpus Corpus 1
Utiliser la notion de?fonction?dérivée

FB_Bac_98616_MatT_LES_012

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Rappels de cours

? Si sur , alors est strictement croissante sur . Si sur , alors est strictement décroissante sur .

? Le coût marginal est le prix de revient d’un objet supplémentaire quand on en a fabriqué . En pratique, on assimile le coût marginal à la dérivée de la fonction coût total.

Méthodes

Étudier le sens de variation d’une fonction

. Étudier les variations de sur .

Conseils

On commence par calculer puis on étudie soigneusement son signe. On conclut avec une phrase ou un tableau.

Solution

. Comme , le signe de est celui du trinôme du second degré .

Ses racines sont?: et , entre lesquelles le trinôme est négatif.


 

Étudier le signe d’une expression factorisée

On suppose que, pour tout ?:

Étudier le signe de et en déduire les variations de .

Conseils

L’étude de signes doit être complète et rigoureuse?: ne pas la réduire à la seule résolution de l’équation .

Solution

Le dénominateur , ainsi que et sont positifs.

Le signe de est donc celui de ?: si ,

alors ?; si , alors .

est décroissante sur et croissante sur .

Manipuler la notion de coût marginal

Une entreprise fabrique une certaine quantité x d’objets. On a représenté le coût total de production en fonction de , ainsi que la tangente en qui passe aussi par et la tangente en , qui passe par .


 

a.?Déterminer le coût marginal si ??

b.?Que peut-on conjecturer pour le sens de variation de la fonction coût marginal??

Conseils

a.?Déterminer le coefficient directeur de la tangente en A.

b.?Utiliser la convexité de la courbe (>?fiche13).

Solution

a.?Le coût marginal est assimilé à la dérivée du coût total. Sa valeur, si , est donc égale au coefficient directeur de la tangente en , c’est-à-dire .

b.?Le coefficient directeur de la tangente en un point de la courbe augmente quand croît (la fonction est convexe), donc la fonction coût marginal semble strictement croissante sur .

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