Utiliser le PGCD et les propriétés des nombres premiers entre eux

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Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Arithmétique
Corpus Corpus 1
Utiliser le PGCD et les propriétés des nombres premiers entre eux

FB_Bac_98617_MatT_S_056

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Rappels de cours

1PGCD

Soit et deux nombres relatifs dont l’un au moins est non nul.

 Le PGCD de et est leur plus grand diviseur commun. On le note PGCD(a ; b) ou . On a donc

Lorsque , les deux entiers et sont dits premiers entre eux.

 Soit et des entiers relatifs.

Pour et ,

propriétés Soit , des entiers naturels non nuls

  • Soit le reste de la division euclidienne de par  ; alors . Ce résultat est le principe de base de l’algorithme d’Euclide (>dépliant,XII).
  • Les diviseurs communs à et sont les diviseurs de leur PGCD.
  • .

2Les propositions de Bézout

Identité de Bézout : Soit et deux entiers relatifs non nuls dont le PGCD est . Alors il existe deux entiers relatifs et tels que .

à noter !

Dans les deux cas, les entiers et ne sont pas uniques.

Théorème de Bézout : Deux entiers relatifs et sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs et tels que .

3Théorème de Gauss

Soit trois entiers relatifs non nuls.

Théorème de Gauss : Si divise et si et sont premiers entre eux, alors divise .

Autrement dit :

Méthode

Résoudre un système avec PGCD

rappel

On veut résoudre le système suivant, où et sont deux entiers naturels.

1. Sachant que , montrer que, pour résoudre le système, il suffit de trouver deux entiers naturels et premiers entre eux vérifiant l’équation .

2. Déterminer les diviseurs positifs de 85, puis trouver et .

3. Conclure.

Conseils

1. On sait que .

2. Retrouvez une identité remarquable.

Solution

1. Posons et .

Puisque PGCD(x ; y)=8, alors et sont premiers entre eux.

Donc et existent si et seulement si , c’est-à-dire .

2. On a et . Les diviseurs positifs de 85 sont donc (>dépliant,XII).

De plus .

Comme est un entier naturel, est également positif.

Par conséquent : équivaut à :

ou

ou ou

Les deux premiers systèmes fournissent les couples suivants : et . Les deux derniers donnent des valeurs négatives de , qu’il faut donc rejeter.

3. Puisque et , les couples-solutions sont et .

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