Utiliser le produit scalaire dans l’espace

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Vecteurs dans l'espace et produit scalaire
Corpus Corpus 1
Utiliser le produit scalaire dans l’espace

FB_Bac_98617_MatT_S_051

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Rappels de cours

1Norme d’un vecteur

à noter ! ne dépend pas du choix de  et .

La norme d’un vecteur se note .

  • Si , alors .
  • Dans un repère orthonormé, si a pour coordonnées , alors :

2Définition du produit scalaire dans l’espace


 

On considère trois points , un plan qui les contient, et deux vecteurs et tels que et .

Dans le cas où et sont deux à deux distincts, est le projeté orthogonal de sur .

Propriétés

1. Si et sont deux à deux distincts :

2. ;  avec  ;

3.

4.

3Expression analytique dans un repère orthonormé

Étant donné deux vecteurs et de coordonnées respectives et dans un repère orthonormé :

4Orthogonalité dans l’espace

 Dire que deux vecteurs et sont orthogonaux signifie que leur produit scalaire est égal à 0 : .

 Deux droites de l’espace sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux.

Méthode

Déterminer des angles grâce au produit scalaire


 

On considère un cube et et les centres de deux faces.

Calculer une mesure des angles du triangle à un degré près.

Conseils
  • Placez-vous dans le repère orthonormé . Calculez alors les coordonnées de et de qui sont des milieux de segments.
  • Utilisez l’expression analytique du produit scalaire puis son expression à l’aide du cosinus.
Solution

On obtient immédiatement les coordonnées suivantes (>fiche49)

, , , .

est le milieu de donc ses coordonnées sont .

est le milieu de donc ses coordonnées sont .

De plus a pour coordonnées et . Donc .

Le triangle est donc isocèle en , ce qui implique .

D’autre part et

.

Par conséquent : .

D’où et .

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