En bref En classe de quatrième, on énonce le théorème de Pythagore et sa réciproque. Ce théorème intervient souvent dans les exercices de brevet portant sur la trigonométrie.

IThéorème de Pythagore

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Exemple : Le triangle ABC est rectangle en A, donc :

BC² = AB² + AC²

IILa racine carrée d'un nombre

Soit a un nombre positif. La racine carrée de a, notée $\sqrt{a}$, est le nombre positif dont le carré est a.

Exemple : ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 5 et AC = 3. Pour calculer la longueur BC, on applique le théorème de Pythagore.

On a BC² = 5² + 3² = 34.

La longueur BC est égale à la racine carrée de 34. On écrit BC = $\sqrt{34}$.

IIIRéciproque du théorème de Pythagore

Si, dans un triangle, le carré de la longueur du plus grand côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Exemple : Pour déterminer si le triangle ABC ci-contre (pas en vraie grandeur) est rectangle, on calcule les carrés des longueurs des trois côtés :

AC² = 4² = 16

AB² = 3² = 9

BC² = 5² = 25.

On additionne les carrés des longueurs les plus petites :

AC² + AB² = 16 + 9 = 25.

Or BC² = 25. On a alors AC² + AB² = BC².

Le triangle ABC est rectangle en A.

Méthodes

1 Utiliser le théorème de Pythagore pour calculer des longueurs

ABC est un triangle rectangle en C.

On donne AC = 39 mm et BC = 52 mm. Montrer que AB = 65 mm.

Conseils

Le triangle ABC est rectangle en C. Écris l'égalité liant AB², AC² et BC².

On applique le théorème de Pythagore au triangle ABC rectangle en C :

AB² = AC² + BC² = 39² + 52² = 1 521 + 2 704 = 4 225.

AB est une longueur, donc AB > 0.

D'où AB = $\sqrt{4225}=65$.

2 Utiliser la réciproque du théorème de Pythagore pour démontrer qu'un triangle est rectangle

ABD est un triangle tel que AD = 25 mm, BD = 60 mm et AB = 65 mm.

Démontrer que le triangle ABD est rectangle.

Conseils

Calcule les carrés des longueurs des trois côtés du triangle ABD. Calcule la somme des deux plus petits carrés et conclus.

Solution

On a AD² = 25² = 625, BD² = 60² = 3 600 et AB² = 4 225.

On additionne les carrés des deux longueurs les plus petites :

AD² + BD² = 625 + 3 600 = 4 225.

Or AB² = 4 225.

On a donc AD² + BD² = AB².

Le triangle ABD est rectangle en D.