Utiliser le théorème des probabilités totales

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Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Corpus Corpus 1
Utiliser le théorème des probabilités totales

FB_Bac_98616_MatT_LES_031

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Rappels de cours

1Définition d’une partition de l’univers

Des événements forment une partition de l’univers lorsqu’ils sont incompatibles deux à deux et que leur réunion est l’univers.

2Théorème des probabilités totales

 Si les événements forment une partition de l’univers alors :

 Cas particulier : .

Méthodes

Appliquer la formule des probabilités totales

Un nouvel alcootest est mis sur le marché. On note :

  • T « le test est positif » ;
  • A « la personne a une alcoolémie supérieure au seuil autorisé ».

On donne , et .

Un gendarme contrôle un automobiliste au hasard.

Calculer la probabilité que cet automobiliste soitcontrôlé positif.

Conseils

Un arbre de probabilités, même s’il n’est pas explicitement demandé par l’énoncé, est fortement conseillé. En effet, il peut servir de justification.

Solution

On construit un arbre de probabilités traduisant les données. La probabilité que cet automobiliste soit contrôlé positif est .

D’après le théorème des probabilités totales :

Calculer une probabilité conditionnelle

On reprend la situation précédente.

a. Calculer . Interpréter le résultat.

b. Calculer la probabilité de trouver une personne ayant une alcoolémie supérieure au seuil autorisé parmi les personnes ayant un test négatif.

c. Conclure sur la fiabilité de cet aloccotest.

Conseils

Sur l’arbre ci-contre, la probabilité conditionnelle se calcule par :

,

s’obtient avec la formule des probabilités totales.

Solution

a..

La probabilité de trouver une personne sobre parmi ceux qui ont été contrôlés positif est donc environ de 0,35.

b. La probabilité de trouver une personne ayant une alcoolémie supérieure au seuil autorisé parmi les personnes ayant un test négatif est  :

.

La probabilité qu’une personne en défaut avec la loi échappe au contrôle est environ de 0,0008.

c. Le premier résultat montre que les conducteurs sobres ne sont pas avantagés par cet alcootest : le nombre de faux positifs est trop important.

Le second résultat est plus probant, le nombre de faux négatifs est très faible. En conclusion, cet alcootest ne semble pas au point.

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