Utiliser le théorème des probabilités totales

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Conditionnement
Corpus Corpus 1
Utiliser le th&eacute or&egrave me des  probabilit&eacute s totales

FB_Bac_98616_MatT_LES_031

31

69

5

Rappels de cours

1D&eacute finition d&rsquo une partition de l&rsquo univers

Des &eacute v&eacute nements forment une partition de l&rsquo univers lorsqu&rsquo ils sont incompatibles deux &agrave deux et que leur r&eacute union est l&rsquo univers.

2Th&eacute or&egrave me des probabilit&eacute s totales

&thinsp Si les &eacute v&eacute nements forment une partition de l&rsquo univers alors  :

&thinsp Cas particulier  : .

M&eacute thodes

Appliquer la formule des probabilit&eacute s totales

Un nouvel alcootest est mis sur le march&eacute . On note  :

  • T &laquo   le test est positif  &raquo  
  • A &laquo   la personne a une alcool&eacute mie sup&eacute rieure au seuil autoris&eacute   &raquo .

On donne , et .

Un gendarme contr&ocirc le un automobiliste au hasard.

Calculer la probabilit&eacute que cet automobiliste soitcontr&ocirc l&eacute positif.

Conseils

Un arbre de probabilit&eacute s, m&ecirc me s&rsquo il n&rsquo est pas explicitement demand&eacute par l&rsquo &eacute nonc&eacute , est fortement conseill&eacute . En effet, il peut servir de justification.

Solution

On construit un arbre de probabilit&eacute s traduisant les donn&eacute es. La probabilit&eacute que cet automobiliste soit contr&ocirc l&eacute positif est .

D&rsquo apr&egrave s le th&eacute or&egrave me des probabilit&eacute s totales  :

Calculer une probabilit&eacute conditionnelle

On reprend la situation pr&eacute c&eacute dente.

a. Calculer . Interpr&eacute ter le r&eacute sultat.

b. Calculer la probabilit&eacute de trouver une personne ayant une alcool&eacute mie sup&eacute rieure au seuil autoris&eacute parmi les personnes ayant un test n&eacute gatif.

c. Conclure sur la fiabilit&eacute de cet aloccotest.

Conseils

Sur l&rsquo arbre ci-contre, la probabilit&eacute conditionnelle se calcule par  :

,

o&ugrave s&rsquo obtient avec la formule des probabilit&eacute s totales.

Solution

a..

La probabilit&eacute de trouver une personne sobre parmi ceux qui ont &eacute t&eacute contr&ocirc l&eacute s positif est donc environ de 0,35.

b. La probabilit&eacute de trouver une personne ayant une alcool&eacute mie sup&eacute rieure au seuil autoris&eacute parmi les personnes ayant un test n&eacute gatif est   :

.

La probabilit&eacute qu&rsquo une personne en d&eacute faut avec la loi &eacute chappe au contr&ocirc le est environ de 0,0008.

c. Le premier r&eacute sultat montre que les conducteurs sobres ne sont pas avantag&eacute s par cet alcootest  : le nombre de faux positifs est trop important.

Le second r&eacute sultat est plus probant, le nombre de faux n&eacute gatifs est tr&egrave s faible. En conclusion, cet alcootest ne semble pas au point.

>>