Utiliser les intervalles de fluctuation

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Fiches
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Lois de probabilité à densité
Corpus Corpus 1
Utiliser les intervalles de fluctuation

FB_Bac_98617_MatT_S_040

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Rappels de cours

1Position du problème – Exemple

Dans une population, par exemple de boules blanches et noires contenues dans une urne, on considère la proportion d’une certaine modalité (par exemple le nombre de boules blanches).

On envisage deux possibilités :

1. La proportion est connue. Par exemple, il y a 45 % de boules blanches ; alors Alors

2. On fait une hypothèse sur la valeur de . Par exemple, on suppose qu’il y a 50 % de boules blanches.

On effectue tirages d’une boule avec remise dans l’urne, on note le nombre de boules blanches obtenues et la fréquence correspondante.

2Intervalle de fluctuation (asymptotique)

 Soit le nombre défini par (>fiche38)

et .

L’intervalle s’appelle l’intervallede fluctuation (asymptotique) de au seuil .

On a alors :

Cela signifie que la probabilité que la fréquence observée soit dans est d’autant plus proche de que la taille de l’échantillon est grande.

 L’intervalle de fluctuation (asymptotique) de au seuil est :

remarque L’intervalle de fluctuation vu en classe de seconde contient l’intervalle précédent.

3Prise de décision à partir d’un échantillon de taille n

Si on a fait une hypothèse sur la valeur de la proportion , comment savoir si cette hypothèse est crédible ? La règle est la suivante, sachant qu’on doit avoir ,et.

  • Si , alors on accepte l’hypothèse faite sur . Dans ce cas, on ne connaît pas la probabilité de se tromper.
  • Si , alors on rejette l’hypothèse faite sur . Dans ce cas, on admet que la probabilité de se tromper est de environ. On s’en rapproche d’autant plus que l’échantillon est grand.

Méthode

Prendre une décision à la suite d’une expérience

Un producteur d’agrumes prétend que moins de 3 % de ses oranges sont impropres à la vente. Un grossiste souhaite vérifier cela par la méthode des intervalles de fluctuation au seuil 95 %. Il effectue des prélèvements d’oranges au hasard dans deux hangars différents ; la production est suffisamment importante pour qu’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.

1. Montrer qu’il doit choisir au moins 167 oranges au hasard pour pouvoir utiliser cette méthode.

2. Il choisit 200 oranges au hasard et en trouve 10 impropres à la consommation. Que peut-il en conclure ?

Conseil

1. Vérifiez les conditions d’exploitation de l’échantillonnage.

Solution

1. On doit avoir et et . D’où et . Il doit donc prélever au moins 167 oranges.

2. On fait l’hypothèse que la proportion d’oranges impropres à la vente est de 3 %. L’intervalle de fluctuation au seuil 95 % est :

, soit environ .

La fréquence observée est égale à . Cette fréquence appartient à l’intervalle de fluctuation au seuil 95 %.

Il doit donc accepter les allégations du producteur.

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