Utiliser les relations trigonométriques dans un triangle rectangle

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Fiches
Classe(s) : 3e | Thème(s) : Utiliser la géométrie plane pour démontrer


Rappels de cours

1 Relations trigonométriques dans le triangle rectangle

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Soit un triangle ABC, rectangle en A.

2 Relations fondamentales

Pour tout angle aigu de mesure x, on a :

cos2x+sin2x=1 et tanx=sinxcosx.

Méthodes

Calculer les mesures des côtés et des angles d’un triangle rectangle

Soit un triangle ABC rectangle en A.

On pose : BC=a, AC=b et AB=c.

Les mesures des côtés du triangle sont exprimées en centimètres et seront calculées à 0,1 cm près. Les mesures des angles sont exprimées en degrés et seront calculées à un degré près.

Compléter le tableau suivant, en indiquant succinctement les calculs effectués.

a

b

c

B^

C^

9

32

4,5

54

8

76

3

4

9

60

conseils

Commencez par tracer une figure.

B^+C^=90° puisque le triangle ABC est rectangle en A.

Utilisez votre calculatrice.

Solution

Utilisons les formules suivantes :

cosB^=ca

cosC^=ba

sinB^=ba

sinC^=ca

tanB^=bc

tanC^=cb

a

b

c

B^

C^

9

7,6

4,8

58

32

5,6

4,5

3,3

54

36

33,1

32,1

8

76

14

5

3

4

37

53

18

15,6

9

60

30

Calculer le cosinus d’un angle aigu connaissant son sinus

L’un des angles aigus d’un triangle rectangle mesure x degrés. Sachant que sinx=0,6, calculer la valeur exacte de cosx.

conseils

Utilisez la formule cos2x+sin2x=1.

Solution

attention !cosx est positif car c’est le quotient de deux distances. Donc cosx=0,64 ne peut pas être une solution.

Nous savons que, pour tout angle aigu de mesure x, on a :cos2x+sin2x=1.

Alors cos2x=1sin2x.

cos2x=1(0,6)2 soit cos2x=10,36 ou encore cos2x=0,64.

Nous avons deux solutions : cosx=+0,64 et cosx=0,64.

Puisque cos x doit être positif, la réponse finale est : cosx=+0,64=0,8.