Utiliser un intervalle de confiance

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Corpus Corpus 1
Utiliser un intervalle de confiance

FB_Bac_98616_MatT_LES_044

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Rappels de cours

On &eacute tudie une variable qualitative dans une population, de fr&eacute quence th&eacute orique . Si est la fr&eacute quence observ&eacute e dans un &eacute chantillon de taille repr&eacute sentatif de la population, et si a posteriori on v&eacute rifie que  :

et

pour toutes les valeurs de l&rsquo intervalle, alors on peut estimer que, dans la population, la fr&eacute quence th&eacute orique est dans l&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance   :

M&eacute thodes

Estimer une proportion th&eacute orique

Un &eacute chantillon de personnes est extrait au hasard d&rsquo une population. On compte 40  personnes diab&eacute tiques. D&eacute terminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 95  % du taux de personnes diab&eacute tiques dans la population.

Conseils

La formule de l&rsquo intervalle de confiance s&rsquo applique sous r&eacute serve que les conditions soient v&eacute rifi&eacute es (&gt m&eacute thode suivante).

Solution

La fr&eacute quence observ&eacute e est .

Sous r&eacute serve de v&eacute rification des hypoth&egrave ses a posteriori, l&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance 95  % du taux de personnes diab&eacute tiques dans la population s&rsquo &eacute crit  :

.

V&eacute rifier a posteriori des conditions

On reprend les donn&eacute es de l&rsquo exemple pr&eacute c&eacute dent. V&eacute rifier si les conditions de validit&eacute sont r&eacute unies.

Conseils

Les conditions portent sur N et p qui est inconnu au d&eacute but du calcul. C&rsquo est pourquoi on effectue ces v&eacute rifications apr&egrave s le calcul et non avant.

Solution

Avec et , on a :

et

Les conditions sont respect&eacute es, l&rsquo estimation est donc valid&eacute e.

D&eacute terminer la taille d&rsquo &eacute chantillon n&eacute cessaire pour  obtenir  une pr&eacute cision donn&eacute e

L&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance du taux de personnes qui fr&eacute quentent r&eacute guli&egrave rement une biblioth&egrave que dans une population donn&eacute e est .

Quelle taille d&rsquo &eacute chantillon a permis d&rsquo obtenir ce r&eacute sultat  ?

Conseils

Il s&rsquo agit de d&eacute terminer la taille de l&rsquo &eacute chantillon, alors que l&rsquo intervalle est connu ou, ce qui revient au m&ecirc me, alors que la pr&eacute cision de l&rsquo intervalle est donn&eacute e.

Solution

La fr&eacute quence observ&eacute e est le centre de l&rsquo intervalle .

La pr&eacute cision est donc &eacute gale &agrave et cette pr&eacute cision correspond dans la formule de l&rsquo intervalle &agrave   .

.

C&rsquo est donc un &eacute chantillon de taille 400 qui a permis d&rsquo obtenir cet intervalle de confiance.

remarque  Si on souhaite diviser par 2 la pr&eacute cision de l&rsquo intervalle de confiance, il faut multiplier par 4 la taille de l&rsquo &eacute chantillon.

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