FB_Bac_98616_MatT_LES_044
44
95
6
Rappels de cours
On é tudie une variable qualitative dans une population, de fré quence thé orique 
. Si 
est la fré quence observé e dans un é chantillon de taille 
repré sentatif de la population, et si a posteriori on vé rifie que :
et 
pour toutes les valeurs 
de l&rsquo intervalle, alors on peut 
est dans l&rsquo 
:
Mé thodes
Estimer une proportion thé orique
Un é chantillon de 
personnes est extrait au hasard d&rsquo une population. On compte 40 personnes diabé tiques. Dé terminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabé tiques dans la population.
La formule de l&rsquo intervalle de confiance s&rsquo applique sous ré serve que les conditions soient vé rifié es
La fré quence observé e est 
.
Sous ré serve de vé rification des hypothè ses a posteriori, l&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabé tiques dans la population s&rsquo é crit :
.
Vé rifier a posteriori des conditions
On reprend les donné es de l&rsquo exemple pré cé dent. Vé rifier si les conditions de validité sont ré unies.
Les conditions portent sur N et p qui est inconnu au dé but du calcul. C&rsquo est pourquoi on effectue ces vé rifications aprè s le calcul et non avant.
Avec 
et 
, on a :
et 
Les conditions sont respecté es, l&rsquo estimation est donc validé e.
Dé terminer la taille d&rsquo é chantillon né cessaire pour obtenir une pré cision donné e
L&rsquo intervalle de confiance au niveau de confiance 
du taux de personnes qui fré quentent ré guliè rement une bibliothè que dans une population donné e est 
.
Quelle taille d&rsquo é chantillon a permis d&rsquo obtenir ce ré sultat ?
Il s&rsquo agit de dé terminer la taille 
de l&rsquo é chantillon, alors que l&rsquo intervalle est connu ou, ce qui revient au mê me, alors que la pré cision de l&rsquo intervalle est donné e.
La fré quence observé e est le centre de l&rsquo intervalle 
.
La pré cision est donc é gale à 
et cette pré cision correspond dans la formule de l&rsquo intervalle à 
.
.
C&rsquo est donc un é chantillon de taille 400 qui a permis d&rsquo obtenir cet intervalle de confiance.
>>
