FB_Bac_98616_MatT_LES_044
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Rappels de cours
On étudie une variable qualitative dans une population, de fréquence théorique 
. Si 
est la fréquence observée dans un échantillon de taille 
représentatif de la population, et si a posteriori on vérifie que :
et 
pour toutes les valeurs 
de l’intervalle, alors on peut 
est dans l’
:
Méthodes
Estimer une proportion théorique
Un échantillon de 
personnes est extrait au hasard d’une population. On compte 40 personnes diabétiques. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabétiques dans la population.
La formule de l’intervalle de confiance s’applique sous réserve que les conditions soient vérifiées
La fréquence observée est 
.
Sous réserve de vérification des hypothèses a posteriori, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabétiques dans la population s’écrit :
.
Vérifier a posteriori des conditions
On reprend les données de l’exemple précédent. Vérifier si les conditions de validité sont réunies.
Les conditions portent sur N et p qui est inconnu au début du calcul. C’est pourquoi on effectue ces vérifications après le calcul et non avant.
Avec 
et 
, on a :
et 
Les conditions sont respectées, l’estimation est donc validée.
Déterminer la taille d’échantillon nécessaire pour obtenir une précision donnée
L’intervalle de confiance au niveau de confiance 
du taux de personnes qui fréquentent régulièrement une bibliothèque dans une population donnée est 
.
Quelle taille d’échantillon a permis d’obtenir ce résultat ?
Il s’agit de déterminer la taille 
de l’échantillon, alors que l’intervalle est connu ou, ce qui revient au même, alors que la précision de l’intervalle est donnée.
La fréquence observée est le centre de l’intervalle 
.
La précision est donc égale à 
et cette précision correspond dans la formule de l’intervalle à 
.
.
C’est donc un échantillon de taille 400 qui a permis d’obtenir cet intervalle de confiance.
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