Utiliser un intervalle de confiance

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
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Utiliser un intervalle de confiance

FB_Bac_98616_MatT_LES_044

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Rappels de cours

On étudie une variable qualitative dans une population, de fréquence théorique . Si est la fréquence observée dans un échantillon de taille représentatif de la population, et si a posteriori on vérifie que :

et

pour toutes les valeurs de l’intervalle, alors on peut estimer que, dans la population, la fréquence théorique est dans l’intervalle de confiance au niveau de confiance  :

Méthodes

Estimer une proportion théorique

Un échantillon de personnes est extrait au hasard d’une population. On compte 40 personnes diabétiques. Déterminer un intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabétiques dans la population.

Conseils

La formule de l’intervalle de confiance s’applique sous réserve que les conditions soient vérifiées (>méthode suivante).

Solution

La fréquence observée est .

Sous réserve de vérification des hypothèses a posteriori, l’intervalle de confiance au niveau de confiance 95 % du taux de personnes diabétiques dans la population s’écrit :

.

Vérifier a posteriori des conditions

On reprend les données de l’exemple précédent. Vérifier si les conditions de validité sont réunies.

Conseils

Les conditions portent sur N et p qui est inconnu au début du calcul. C’est pourquoi on effectue ces vérifications après le calcul et non avant.

Solution

Avec et , on a :

et

Les conditions sont respectées, l’estimation est donc validée.

Déterminer la taille d’échantillon nécessaire pour obtenir une précision donnée

L’intervalle de confiance au niveau de confiance du taux de personnes qui fréquentent régulièrement une bibliothèque dans une population donnée est .

Quelle taille d’échantillon a permis d’obtenir ce résultat ?

Conseils

Il s’agit de déterminer la taille de l’échantillon, alors que l’intervalle est connu ou, ce qui revient au même, alors que la précision de l’intervalle est donnée.

Solution

La fréquence observée est le centre de l’intervalle .

La précision est donc égale à et cette précision correspond dans la formule de l’intervalle à .

.

C’est donc un échantillon de taille 400 qui a permis d’obtenir cet intervalle de confiance.

remarque Si on souhaite diviser par 2 la précision de l’intervalle de confiance, il faut multiplier par 4 la taille de l’échantillon.

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