Utiliser un intervalle de fluctuation

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Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
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Utiliser un intervalle de fluctuation

FB_Bac_98616_MatT_LES_043

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Rappels de cours

 On étudie une variable qualitative dans une population, de fréquence théorique connue.

Si et si et , alors on peut parier que, dans un échantillon de taille représentatif de la population, la fréquence observée est dans l’intervalle de fluctuation (on dit aussi intervalle de pari) au seuil de  :

 On peut remplacer cet intervalle par un autre, moins précis mais plus simple :

Méthodes

Vérifier a priori les conditions

L’INSEE indiquait en 2006 que de la population française était composée de jeunes de moins de 25 ans. On constitue un échantillon représentatif de 300 Français.

Peut-on calculer un intervalle de fluctuation de la fréquence de jeunes de moins de 25 ans dans cet échantillon ?

Conseils

Contrairement à l’intervalle de confiance (>fiche44), les conditions portent sur qui est connu au début du calcul. Cette vérification se fait avant tout autre calcul.

Solution

On a :  et .

Les conditions sont bien respectées. On peut donc écrire un intervalle de fluctuation.

Obtenir un intervalle de fluctuation

On reprend l’exemple précédent dans lequel on constituait un échantillon représentatif de 300 Français, sachant que l’INSEE avait indiqué que de la population française était composée de jeunes de moins de 25 ans. À quelle quantité de jeunes de moins de 25 ans peut-on s’attendre ?

Conseils

Une fois les conditions vérifiées, il suffit d’appliquer les formules.

Solution

L’intervalle de fluctuation au seuil de 95 % du taux de personnes de moins de 25 ans dans l’échantillon s’écrit :

,

soit .

Comme 20,1 % de 300 est égal à 60,3 et que 29,9 % de 300 est égal à 89,7, on peut s’attendre, dans cet échantillon, à avoir entre 61 et 89 personnes de moins de 25 ans.

Comprendre le lien entre la taille de l’échantillon et la précision de l’intervalle

Avec un échantillon de 100 personnes, on a obtenu l’intervalle de fluctuation de niveau 95 % : .

Quelle taille d’échantillon faut-il pour obtenir [0,095 ; 0,105] ?

Conseils

L’intervalle de fluctuation est centré en p et son rayon, parfois appelé précision de l’intervalle, est :

.

Cette précision est inversement proportionnelle à la racine carrée de  : si la précision est divisée par 2, alors est multiplié par 4.

Solution

La précision est divisée par 4 (elle était de , on la voudrait égale à ), donc la taille de l’échantillon doit être multipliée par 16.

La taille nécessaire est donc .

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