Utiliser un intervalle de fluctuation

Merci !

Fiches
Classe(s) : Tle L - Tle ES | Thème(s) : Intervalle de fluctuation - Estimation
Corpus Corpus 1
Utiliser un intervalle de fluctuation

FB_Bac_98616_MatT_LES_043

43

95

6

Rappels de cours

&thinsp On &eacute tudie une variable qualitative dans une population, de fr&eacute quence th&eacute orique connue.

Si et si et , alors on peut parier que, dans un &eacute chantillon de taille repr&eacute sentatif de la population, la fr&eacute quence observ&eacute e est dans l&rsquo intervalle de fluctuation (on dit aussi intervalle de pari) au seuil de   :

&thinsp On peut remplacer cet intervalle par un autre, moins pr&eacute cis mais plus simple  :

M&eacute thodes

V&eacute rifier a priori les conditions

L&rsquo INSEE indiquait en 2006 que de la population fran&ccedil aise &eacute tait compos&eacute e de jeunes de moins de 25 ans. On constitue un &eacute chantillon repr&eacute sentatif de 300  Fran&ccedil ais.

Peut-on calculer un intervalle de fluctuation de la fr&eacute quence de jeunes de moins de 25  ans dans cet &eacute chantillon  ?

Conseils

Contrairement &agrave l&rsquo intervalle de confiance (&gt fiche44), les conditions portent sur qui est connu au d&eacute but du calcul. Cette v&eacute rification se fait avant tout autre calcul.

Solution

On a  :&ensp et .

Les conditions sont bien respect&eacute es. On peut donc &eacute crire un intervalle de fluctuation.

Obtenir un intervalle de fluctuation

On reprend l&rsquo exemple pr&eacute c&eacute dent dans lequel on constituait un &eacute chantillon repr&eacute sentatif de 300 Fran&ccedil ais, sachant que l&rsquo INSEE avait indiqu&eacute que de la population fran&ccedil aise &eacute tait compos&eacute e de jeunes de moins de 25 ans. &Agrave quelle quantit&eacute de jeunes de moins de 25 ans peut-on s&rsquo attendre  ?

Conseils

Une fois les conditions v&eacute rifi&eacute es, il suffit d&rsquo appliquer les formules.

Solution

L&rsquo intervalle de fluctuation au seuil de 95  % du taux de personnes de moins de 25 ans dans l&rsquo &eacute chantillon s&rsquo &eacute crit  :

,

soit .

Comme 20,1  % de 300 est &eacute gal &agrave 60,3 et que 29,9  % de 300 est &eacute gal &agrave 89,7, on peut s&rsquo attendre, dans cet &eacute chantillon, &agrave avoir entre 61 et 89 personnes de moins de 25 ans.

Comprendre le lien entre la taille de l&rsquo &eacute chantillon et la pr&eacute cision de l&rsquo intervalle

Avec un &eacute chantillon de 100  personnes, on a obtenu l&rsquo intervalle de fluctuation de niveau 95  %  : .

Quelle taille d&rsquo &eacute chantillon faut-il pour obtenir [0,095  0,105]  ?

Conseils

L&rsquo intervalle de fluctuation est centr&eacute en p et son rayon, parfois appel&eacute pr&eacute cision de l&rsquo intervalle, est  :

.

Cette pr&eacute cision est inversement proportionnelle &agrave la racine carr&eacute e de   : si la pr&eacute cision est divis&eacute e par 2, alors est multipli&eacute par 4.

Solution

La pr&eacute cision est divis&eacute e par 4 (elle &eacute tait de , on la voudrait &eacute gale &agrave ), donc la taille de l&rsquo &eacute chantillon doit &ecirc tre multipli&eacute e par 16.

La taille n&eacute cessaire est donc .

>>