Utiliser un intervalle de fluctuation pour prendre une décision

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Fiches
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Probabilités et échantillonnage
Corpus Corpus 1
Utiliser un intervalle de fluctuation pour prendre une décision

FB_Bac_99063_Mat1_S_044

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95

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Rappels de cours

Soient un entier naturel non nul et un réel appartenant à [0?;?1].

1 Intervalle de fluctuation

Nous considérons une variable aléatoire suivant la loi binomiale et la variable aléatoire fréquence associée définie par L’intervalle de fluctuation au seuil de 95?% de la variable aléatoire fréquence est l’intervalle où?:

  • est le plus petit entier tel que ?;
  • est le plus petit entier tel que

2 Prise de décision à partir d’un échantillon

Dans une population, nous nous intéressons à un caractère dont nous supposons que la proportion est égale à La prise de décision consiste à valider ou non, à partir d’un échantillon, l’hypothèse faite sur cette proportion.

Pour ce faire?:

1.?Nous prélevons au hasard individus dans cette population (soit avec remise soit sans remise mais dans ce cas ne doit pas dépasser 10?% de la taille de la population).

2.?Nous calculons la fréquence observée du caractère dans cet échantillon.

3.?Nous déterminons l’intervalle de fluctuation au seuil de 95?% de la variable aléatoire fréquence associée à la variable aléatoire suivant la loi .

4.?Nous appliquons la règle de décision suivante?:

  • si la fréquence observée appartient à nous considérons que l’hypothèse selon laquelle la proportion est dans la population n’est pas remise en question et nous ne la rejetons pas?;
  • sinon, nous rejetons l’hypothèse selon laquelle cette proportion vaut avec un risque d’au plus 5?% de se tromper.

Méthodes

Déterminer un intervalle de fluctuation

Une variable aléatoire suit la loi binomiale

Déterminer l’intervalle de fluctuation au seuil de 95?% de la variable aléatoire fréquence associée

Conseils

Construisez la table des valeurs à l’aide d’une calculatrice, étant un entier

?

 

k

Condition

?

0

0,00168

?

9

0,92924

<?0,975

1

0,0131

?

10

0,9675

<?0,975

2

0,05126

>?0,025

?

11

0,98648

 

Par conséquent, l’intervalle de fluctuation au seuil de 95?% de la variable aléatoire fréquence est

Prendre une décision à partir d’un échantillon

Antoine affirme que 12?% de la population française est gauchère. Mais Sophie et Hugo en doutent. Sur 50?personnes qu’ils ont observées, seulement 3, soit 6?%, étaient gauchères. Peuvent-ils remettre en cause l’affirmation d’Antoine?à partir de leur échantillon??

Conseils

Identifiez la proportion du caractère étudié dans la population, la taille de l’échantillon considéré et la fréquence observée .

Solution

Nous nous intéressons ici aux personnes gauchères dans la population française dont la proportion d’après Antoine est

  • L’échantillon est constitué de ?personnes parmi lesquelles seulement 3 sont gauchères?:
  • L’intervalle de fluctuation de la variable aléatoire fréquence associée à la variable aléatoire suivant la loi binomiale est . (>?Méthode?1)
  • Comme Sophie et Hugo ne peuvent pas remettre en cause l’affirmation d’Antoine.

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