Variables aléatoires

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Fiches
Classe(s) : 1re ST2S - 1re STI2D - 1re STL - 1re STMG | Thème(s) : Épreuves de Bernoulli, variables aléatoires

A Variable aléatoire discrète

EXEMPLE

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.

Sur chacune d’elles est inscrit un nombre comme l’indique le tableau ci-dessous :

Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Tetière de 1 lignes ;Ligne 1 : Nombre inscrit;1;2;5;10;Corps du tableau de 1 lignes ;Ligne 1 : Nombre de boules; 4; 3; 2; 1;

Un joueur mise 4 €, tire une boule au hasard. Chaque boule a la même probabilité d’être tirée. Il reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

On peut rajouter une ligne « gain », au tableau de l’énoncé, dont les nombres sont obtenus en retirant la mise de 4 euros dans chaque cas.

Tableau de 3 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 3 lignes ;Ligne 1 : Nombre inscrit; 1; 2; 5; 10; Ligne 2 : Nombre de boules; 4; 3; 2; 1; Ligne 3 : Gain en euros; −3; −2; 1; 6;

Nous sommes donc amenés à introduire X qui associe à chaque tirage d’une boule le gain en euros susceptible d’être obtenu.

Chaque valeur possible du gain X, k, a une probabilité notée pk.

On dit que X est une variable aléatoire.

L’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est {3,2,1,6}.

RemarqueS

X est une variable aléatoire discrète, car elle prend des valeurs isolées (ici : –3, –2, 1, 6).

On note {X=3}, l’événement « obtenir un “gain” de –3 euros ». On note P(X=3) la probabilité de cet événement.

{X1} est l’événement « obtenir un gain inférieur ou égal à 1 euro ». On note P(X1) la possibilité de cet événement.

À retenir

Une variable aléatoire discrète X prend, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2 …, xn avec des probabilités p1, p2, …, pn.

B Loi de probabilité

EXEMPLE

On reprend l’exemple du A.

À l’aide du deuxième tableau de l’exemple du A, on obtient :

P(X=3)=410=0,4 ; P(X=2)=310=0,3 ; P(X=1)=210=0,2 ; P(X=6)=110=0,1.

On peut alors remplir le tableau suivant.

Tableau de 2 lignes, 5 colonnes ;Corps du tableau de 2 lignes ;Ligne 1 : k; −3; −2; 1; 6; Ligne 2 : P(X=k); 0,4; 0,3; 0,2; 0,1;

Ce tableau définit une fonction f:kf(k)=P(X=k) appelée loi de probabilité associée à la variable aléatoire X.

DÉFINITION

Soit X une variable aléatoire discrète prenant, lors d’une expérience aléatoire, des valeurs x1, x2, …, xi, …, xn avec des probabilités p1, p2, …, pi, …, pn.

La loi de probabilité associée à X est la fonction f qui à tout xi associe f(xi) = P(X = xi) = pi.

À retenir

En notant pi=P(x=xi), on vérifie que la somme des pi est égale à 1, ce que l’on note : Σpi=1.

C Espérance

DÉFINITION

L’espérance d’une variable aléatoire X prenant m valeurs xi avec les probabilités pi = P(X = xi) est E(X) = p1x1p2x2 + … + pmxm.

EXEMPLE

On reprend l’exemple du A et B.

L’espérance E(X) de la variable aléatoire X est : E(X)=pixi, c’est-à-dire :

E(X)=3×0,42×0,3+1×0,2+6×0,1,

E(X)=1.

On peut interpréter l’espérance comme une « moyenne » des valeurs de la variable aléatoire.

D Loi de Bernoulli (0, 1) de paramètre p

DÉFINITION

La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de la variable aléatoire discrète X qui code le résultat d’une épreuve de Bernoulli : 1 pour « succès », 0 pour « échec » :

P(X = 1) = p  P(X = 0) = 1 − p.