A Variable aléatoire discrète

EXEMPLE

Une urne contient 10 boules indiscernables au toucher.

Sur chacune d'elles est inscrit un nombre comme l'indique le tableau ci-dessous :

Un joueur mise 4 €, tire une boule au hasard. Chaque boule a la même probabilité d'être tirée. Il reçoit le montant (en euros) inscrit sur la boule.

On peut rajouter une ligne « gain », au tableau de l'énoncé, dont les nombres sont obtenus en retirant la mise de 4 euros dans chaque cas.

Nous sommes donc amenés à introduire X qui associe à chaque tirage d'une boule le gain en euros susceptible d'être obtenu.

Chaque valeur possible du gain X, k, a une probabilité notée p_k.

On dit que X est une variable aléatoire.

L'ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire X est $\{-3,-2,1,6\}$ .

B Loi de probabilité

EXEMPLE

On reprend l'exemple du A.

À l'aide du deuxième tableau de l'exemple du A, on obtient :

$P\left(X=-3\right)=\frac{4}{10}=\text{0,4}$ ; $P\left(X=-2\right)=\frac{3}{10}=\text{0,3}$ ; $P\left(X=1\right)=\frac{2}{10}=\text{0,2}$ ; $P\left(X=6\right)=\frac{1}{10}=\text{0,1.}$

On peut alors remplir le tableau suivant.

Ce tableau définit une fonction $f:k\mapsto f(k)=P(X=k)$ appelée loi de probabilité associée à la variable aléatoire X.

DÉFINITION

Soit X une variable aléatoire discrète prenant, lors d'une expérience aléatoire, des valeurs x₁, x₂, …, x_i, …, x_n avec des probabilités p₁, p₂, …, p_i, …, p_n.

La loi de probabilité associée à X est la fonction f qui à tout x_i associe f(x_i) = P(X = x_i) = p_i.

C Espérance

DÉFINITION

L'espérance d'une variable aléatoire X prenant m valeurs x_i avec les probabilités p_i = P(X = x _i) est E(X) = p₁x₁ + p₂x₂ + … + p_mx_m.

EXEMPLE

On reprend l'exemple du A et B.

L'espérance $E\left(X\right)$ de la variable aléatoire X est : $E\left(X\right)={{\displaystyle \sum }}^{\text{}}{p}_i{x}_i$ , c'est-à-dire :

$E\left(X\right)=-3\times \mathrm{0,4}-2\times \mathrm{0,3}+1\times \mathrm{0,2}+6\times \mathrm{0,1},$

$E\left(X\right)=-1.$

On peut interpréter l'espérance comme une « moyenne » des valeurs de la variable aléatoire.

D Loi de Bernoulli (0, 1) de paramètre p

DÉFINITION

La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de la variable aléatoire discrète X qui code le résultat d'une épreuve de Bernoulli : 1 pour « succès », 0 pour « échec » :

P(X = 1) = p P(X = 0) = 1 − p.