Variables aléatoires et algorithmes

Fiches
Classe(s) : 1re Générale | Thème(s) : Variables aléatoires réelles

Lancer 1 000 fois une pièce de monnaie, lancer 1 000 fois un dé, effectuer 1 000 tirages avec remise dans une urne, et noter à chaque fois le résultat obtenu, qui peut le faire ? Un programme de calcul bien sûr !

I Simulation de variables aléatoires avec Python

À noter

Pour employer ces fonctions, il faut importer le module random grâce à l’instruction « from random import * ».

Pour simuler un grand nombre d’expériences identiques et indépendantes on dispose de l’instruction random() qui fournit un nombre pseudo-aléatoire de l’intervalle [0 ; 1[(ne pas oublier les parenthèses).

La fonction randint(a, b) renvoie un nombre entier de l’intervalle a;b.

Exemple : Le programme suivant simule le jet d’une pièce de monnaie truquée de telle sorte que la probabilité de « pile » soit 0,4. Il définit de fait la variable aléatoire nommée pile qui compte le nombre de « pile » au cours de 1 000 lancers.

PB_Bac_05285_Math1_TT_p287-314_C11_Algo_1

II Simulation de variables aléatoires avec un tableur

PB_Bac_05285_Math1_TT_p287-314_C11_Groupe_Schema_1

Dans la feuille de calcul ci-contre, on a ­simulé 20 expériences (seules les premières sont affichées). Chaque expérience consiste à lancer 100 000 fois (= 100 000) une pièce truquée, avec une probabilité de « pile » de 0,35 (p = 0,35).

Pour chaque expérience, une formule calcule la proportion m de « pile » obtenues (colonne J) et la distance entre m et p (colonne L). Si la distance est inférieure à un nombre donné (rayon r) alors une formule affiche 1 et sinon 0 (colonne M). Enfin la cellule K8 compte la proportion d’expériences où cette distance (|p m|) est inférieure au rayon. Il y en a ici 95 %.

05285_chap11_fiche35i01

Méthodes

1 Calcul de l’espérance avec un tableur

Le tableau ci-dessous résume la loi de probabilité d’une variable aléatoire X.

PB_Bac_05285_Math1_TT_p287-314_C11_Groupe_Schema_0

1. Écrire une formule permettant de calculer P(X = –3).

2. La cellule G3 contient la valeur de E(X). Quelle formule peut-on écrire ?

conseils

1. Envisagez le calcul de la somme de tous les nombres pk.

2. Revenez à la définition de l’espérance d’une variable aléatoire.

solution

1. La somme p1 + … + p5 vaut 1. On peut donc écrire en C2 : « = 1-SOMME(B2 ; D2 : F2) ». On trouve 1 – 0,92 = 0,08.

2. Il suffit d’écrire « = SOMME(B3 : F3) », qui additionne les nombres pkxk.

2 Répétitions de variables aléatoires

Commenter ce programme générant les lancers décrits dans la fiche.

PB_Bac_05285_Math1_TT_p287-314_C11_Algo_0

solution

Le programme exécute une première boucle (lignes 1 à 11) de 20 expériences identiques et affiche la proportion de « pile » obtenue (m sur la ligne 9) pour chacune d’elles (ligne 10). Une expérience (lignes 3 à 8) consiste à tester si un nombre choisi aléatoirement (ligne 4 : hasard) est inférieur ou égal à 0,35. Si oui, la variable aléatoire pile augmente de 1.