Lorsqu'on étudie une fonction, on s'intéresse notamment à ses variations : sur quel(s) intervalle(s) est-elle croissante ou décroissante ? Quels sont ses minimums ? ses maximums ?
I Monotonie sur un intervalle
À noter
Si f est croissante, les images de a et b sont rangées dans le même ordre que a et b.
Si f est décroissante, les images de a et b sont rangées dans l'ordre inverse de a et b.
Dire qu'une fonction f est croissante sur un intervalle I signifie qu'elle conserve l'ordre. Autrement dit, quels que soient les nombres a et b de I :
a b ⇒ f(a) ⩽ f(b)
Dire qu'une fonction f est décroissante sur un intervalle I signifie qu'elle inverse l'ordre. Autrement dit, quels que soient les nombres a et b de I :
a b ⇒ f(a) ⩾ f(b)
Dire qu'une fonction f est monotone sur un intervalle I signifie qu'elle est soit croissante, soit décroissante sur I.
Exemple : En parcourant de gauche à droite la courbe ci-dessus représentant la fonction f, on constate que :
• f est décroissante sur [–8 ; a] et sur [b ; 7] ;
• f est croissante sur [a ; b] ;
• La fonction f est monotone sur chacun des intervalles précédents (mais elle n'est pas monotone sur [–8 ; 7]).
II Tableau de variation
On résume les variations d'une fonction dans un tableau de variation. On y indique aussi, le cas échéant, les maximums et les minimums de la fonction.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et a et b deux points de I.
• Dire que f a un minimum en a sur I signifie que pour tout x ∈ I : f(a) ⩽ f(x)
• Dire que f a un maximum en b sur I signifie que pour tout x ∈ I : f(x) ⩽ f(b)
Exemple : La fonction f représentée ci-dessus a un minimum en a sur [–8 ; b] car f(a) = m et m ⩽ f(x) pour tout x de cet intervalle.
Exploiter le tableau de variation d'une fonction
En utilisant le tableau de variation ci-dessous, déterminer :
a. les intervalles sur lesquels f est monotone ;
b. le signe de f(x) pour tout x de [–3 ; 11] ;
c. le nombre d'antécédents de 3.
conseilS
a. Interprétez les flèches : ↗ signifie que la fonction f est croissante et ↘
b. Analysez les maximums et les minimums sur chaque intervalle où la fonction est monotone. Ils sont indiqués aux extrémités des flèches.
c. Repérez où se trouve le nombre 3 sur les flèches de variation et déduisez-en les positions des antécédents.
solution
a. f est monotone sur les intervalles [–3 ; 1] et [5 ; 11] (où elle est croissante) et [1 ; 5] (où elle est décroissante).
b. Pour tout x de [–3 ; 1] : f(x) ⩾ 0. En effet, sur cet intervalle, la plus petite valeur de f(x) est 0.
Pour tout x de [1 ; 5] : f(x) ⩾ 2 et pour tout x de [5 ; 11] : f(x) ⩾ 2.
En effet, sur chacun de ces intervalles, la plus petite valeur de f(x) est 2.
On en conclut que pour tout x de [–3 ; 11], f(x) ⩾ 0.
c. La lecture du tableau de variation complété suivant fournit la réponse.
Le nombre 3 a trois antécédents : a compris entre –3 et 1, b compris entre 1 et 5, et c compris entre 5 et 11.