Première générale Maths (tronc commun) Modèles continus et fonctions

Les fonctions exponentielles ont une croissance ou une décroissance particulièrement rapide, c’est ce qui les différencie des autres fonctions étudiées au lycée comme les fonctions affines ou polynomiales.

I Variations et courbe représentative

Soit a un nombre réel strictement positif et soit ${exp}_{a}$ la fonction exponentielle de base a .

Si $a > 1$ , la fonction exp_a est strictement croissante .

Si $0 < a < 1$ , la fonction exp_a est strictement décroissante .

Exemples de représentation graphique : on a représenté la fonction croissante $x \mapsto {2,1}^{x}$ en rouge et la fonction décroissante $x \mapsto {0,8}^{x}$ en vert.

II Conséquences : équations, inéquations et signe

Soit $a$ un nombre réel strictement positif.

Pour tout réel x , on a $a^{x} > 0$ .

Pour tous réels x et y :

si $a \neq 1$ alors $a^{x} = a^{y}$ si et seulement si $x = y$ ;

si $a > 1$ alors $a^{x} < a^{y}$ si et seulement si $x < y$ ;

si $a < 1$ alors $a^{x} < a^{y}$ si et seulement si $x > y$ .

III Problèmes de seuil

Soit a un nombre réel strictement positif et soit m un réel positif.

Pour déterminer les réels x tels $a^{x} \geq m$ ou tels que $a^{x} \leq m$ on peut utiliser une représentation graphique de la fonction exponentielle et la droite d’équation y = m ou un tableur et le fait que la fonction exponentielle est monotone.

Méthodes

1 Déterminer le sens de variation de fonctions $x \mapsto k \times a^{x}$

Déterminer le sens de variations des fonctions suivantes définies sur $[0; + \infty[$ par :

$f (x) = 2 \times {1,2}^{x}$ ; $g (x) = - 3,4 \times {1,2}^{x}$ et $h (x) = 2 \times {0,8}^{x}$ .

Conseils

Comparez tout d’abord la base de l’exponentielle à 1, puis considérez le signe de k .

Solution

On a $1,2 > 1$ donc $x \mapsto {1,2}^{x}$ est strictement croissante, et, puisque $2 > 0$ , la fonction f est strictement croissante .

Comme $- 3,4 < 0$ , la fonction $g$ est strictement décroissante .

On a $0 < 0,8 < 1$ donc $x \mapsto {0,8}^{x}$ est strictement décroissante. Or $2 > 0$ , donc la fonction h est strictement décroissante .

2 Déterminer un seuil de manières différentes

On admet que la quantité d’un certain médicament (en mg) présente dans le sang est donnée par la fonction f définie sur $[0; + \infty[$ par $f (t) = 9 \times {0,67}^{t}$ où t est le temps écoulé (en heures) depuis l’injection du médicament.

a. Quel est le sens de variation de la fonction f ?

b. On souhaite déterminer le temps t ₀ à partir duquel il restera moins de 2 mg de médicament dans le sang. À l’aide du graphique de la fonction f donné ci-dessus, déterminer une valeur approchée de t ₀ .

c. À l’aide d’un tableur, déterminer une valeur approchée au centième près par excès de t ₀ .

Conseils

Pour déterminer graphiquement t ₀ , tracez la droite d’équation $y = 2$ . Avec un tableur, utilisez tout d’abord un pas de 0,1 puis affinez avec un pas de 0,01.

Solution

a. La fonction f est strictement décroissante car $0 < 0,67 < 1$ et $9 > 0$ .

b. En traçant la droite horizontale d’équation $y = 2$ , on trouve $t_{0} \approx 3,8$ .

c. La calculatrice donne successivement en arrondissant au centième puis au millième :

t	3,5	3,6	3,7	3,73	3,74	3,75	3,76	3,8
$f (t)$	2,22	2,13	2,05	2,021	2,013	2,005	1,997	1,98

D’où $t_{0} \approx 3,76$ au centième près par excès.

Variations des fonctions exponentielles

I Variations et courbe représentative

II Conséquences : équations, inéquations et signe

III Problèmes de seuil

Méthodes

1 Déterminer le sens de variation de fonctions $x \mapsto k \times a^{x}$

Conseils

Solution

2 Déterminer un seuil de manières différentes

Conseils

Solution

Pour lire la suite

Variations des fonctions exponentielles

I Variations et courbe représentative

II Conséquences : équations, inéquations et signe

III Problèmes de seuil

Méthodes

1 Déterminer le sens de variation de fonctions x ↦ k × a x

Conseils

Solution

2 Déterminer un seuil de manières différentes

Conseils

Solution

Pour lire la suite

1 Déterminer le sens de variation de fonctions $x \mapsto k \times a^{x}$