A Vocabulaire

Dans une expérience aléatoire, Ω est l'ensemble (ou univers) de tous les résultats (ou issues) possibles.

Un événement est une partie de Ω.

Un événement élémentaire est un événement possédant un seul élément.

Deux événements A, B sont disjoints ou incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅.

L'événement contraire d'un événement A est l'événement $\overline{\text{A}}$ constitué des éléments de Ω n'appartenant pas à A.

EXEMPLES

On prélève au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes.

• L'univers Ω est l'ensemble des 32 cartes.

• Il y a 32 issues possibles.

• « La carte tirée est un valet » est un événement que nous pouvons noter A.

• « La carte tirée est un cœur » est un événement que nous pouvons noter B.

• A ∩ B désigne l'événement : « La carte tirée est un valet et la carte tirée est un cœur » c'est-à-dire : « la carte tirée est le valet de cœur ».

L'événement A ∩ B ≠ ∅, c'est-à-dire l'événement A ∩ B n'est pas « impossible », donc les événements A et B ne sont pas disjoints (ou incompatibles).

• A ∪ B désigne l'événement : « La carte tirée est un valet ou un cœur ». Il y a 11 éléments dans A ∪ B (les 8 cœurs et les 3 valets autres que le valet de cœur).

• L'événement contraire de l'événement A est l'événement :

$\overline{\text{A}}$ : « la carte tirée n'est pas un cœur ».

B Calcul des probabilités

La probabilité d'un événement A d'un univers fini Ω est la somme des probabilités des événements élémentaires qui constituent A. La probabilité de Ω est 1.

Pour tout événement A, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

L'équiprobabilité correspond au cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité.

Dans ce cas, la probabilité d'un événement élémentaire est : $\frac{1}{\text{nombre d'éléments de }\Omega }$

et pour tout événement A,

$P(A)=\frac{\text{nombre d'éléments de }A}{\text{nombre d'éléments de }\Omega }=\frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$.

Pour tous événements disjoints A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B).

Pour tout événement A, $P(\overline{A})=1-P(A)$. En particulier P(Ø) = 0.

Pour tous événements A, B, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

EXEMPLE

Une enquête, concernant l'hygiène alimentaire, a été réalisée sur un échantillon de 800 personnes. Les personnes sont réparties en trois groupes.

Type 1 : les végétariens ; type 2 : les végétariens qui mangent néanmoins du poisson ; type 3 : les non-végétariens. La répartition des personnes est donnée dans le tableau suivant.

On choisit, au hasard, une des 800 personnes de l'échantillon, chacune ayant la même probabilité d'être choisie. On définit les événements suivants :

A : « La personne choisie est non végétarienne » ;

B : « La personne choisie est un homme ».

Il y a équiprobabilité des tirages donc, d'après un résultat rappelé ci-dessus, $P(A)=\frac{634}{800}$ ; P(A) = 0,7925 ; $P(B)=\frac{360}{800}$ ; P(B) = 0,45.

A ∩ B est l'événement : « La personne choisie est un homme non végétarien ».

$P(A\cap B)=\frac{321}{800}=\mathrm{0,40125}$.

A ∪ B est l'événement : « La personne choisie est non végétarienne ou est un homme ».

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ; P(A ∪ B) = 0,79250 + 0,45000 – 0,40125 ;

P(A ∪ B) = 0,84125.