Exercice corrigé Ancien programme

3e loi de kepler

On considère une planète ayant une trajectoire circulaire de rayon r autour du Soleil (de masse notée MS).

1. Exprimer le vecteur accélération de cette planète. En déduire l'expression de a en fonction de G, MS et r. Déduire de ce qui précède que le mouvement de la planète est circulaire uniforme.

2. Montrer que le carré de la période de révolution T de la planète s'exprime en fonction de G, MS et r3.

3. Déduire de la question précédente la 3e loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.

4. Que devient la loi établie à la question précédente si on considère le mouvement circulaire d'un satellite de Jupiter ? Dans quel référentiel doit-on travailler ?

1. La seule force extérieure appliquée à cette planète est la force d'attraction gravitationnelle, donc en appliquant la 2e loi de Newton dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen on obtient :

.

L'accélération est écrite pour un mouvement circulaire quelconque.

Comme la force de gravitation subie par la planète s'écrit , la comparaison des deux équations vectorielles donne :

et

soit , et après simplification .

Ce qui montre que la valeur du vecteur vitesse est constante (car r est constant par hypothèse), le mouvement est donc bien circulaire et uniforme.

2. Le mouvement étant circulaire et uniforme, on peut calculer la période de révolution de la planète autour du Soleil : .

Soit , ou encore .

Et en élevant au carré : .

3. La relation précédente est la 3e loi de Kepler dans le cas d'une orbite circulaire.

4. Si on veut étudier le mouvement circulaire d'un satellite de Jupiter, on doit utiliser un référentiel galiléen ayant le centre de Jupiter comme centre (référentiel « jovicentrique »). La 3e loi de Kepler s'applique toujours, la masse centrale étant désormais la masse de Jupiter elle-même :

.

La 3e loi de Kepler telle qu'écrite ci-dessus peut en fait s'appliquer à tout mouvement circulaire d'un satellite autour d'un astre quel qu'il soit : Soleil, Terre, Jupiter ou toute autre planète.

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