Exercice corrigé Ancien programme

algorithme, calcul d'aire

On note la courbe de la fonction ln dans un repère orthonormé.

Le but de cet exercice est d'écrire un algorithme donnant l'aire  comprise entre l'axe des abscisses et les droites d'équation et a et b étant deux réels strictement positifs tels que

1. Vérifier que la fonction est une primitive de la fonction ln sur

2. Exprimer en fonction de a et de b.

Voir le savoir-faire 4. On distinguera les cas et

3. a. Déterminer les expressions de en utilisant la fonction numérique F1.

b. Écrire un algorithme associant, aux réels strictement positifs a et b, une valeur approchée de l'aire , exprimée en unités d'aire.

1. Pour tout

2. L'aire comprise entre l'axe des abscisses et les droites d'équation et a et b étant deux réels strictement positifs tels que est égale à là où la fonction ln est positive, ce qui est le cas sur donc si

Là où la fonction ln est négative, c'est-à-dire sur donc si

Enfin, il faut découper la zone en intervalles sur lesquels la fonction est de signe constant si la fonction ln change de signe, donc si

3. a. est une primitive de la fonction ln, donc :

si

C'est la propriété du cours, III.4.

si

si

b. D'où l'algorithme suivant, écrit sur Algobox :

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE

3 n EST_DU_TYPE NOMBRE

4 S EST_DU_TYPE NOMBRE

5 k EST_DU_TYPE NOMBRE

6 DEBUT_ALGORITHME

7 LIRE x

8 LIRE n

9 S PREND_LA_VALEUR 0

10 POUR k ALLANT_DE 1 A n

11 DEBUT_POUR

12 S PREND_LA_VALEUR S+x/n*F1((k-1)*x/n)

13 FIN_POUR

14 AFFICHER “un majorant de l'aire cherchée est”

15 AFFICHER S

16 FIN_ALGORITHME

17

18 Fonction numérique utilisée :

19 F1(x)=exp(-x*x)

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