1. On considère un capital initial C0 placé à un taux annuel de 4 %. On note Cn le capital au bout de n années.
a. Que donne l'algorithme suivant ?
VARIABLES
C EST_DU_TYPE NOMBRE
n EST_DU_TYPE NOMBRE
C0 EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE C0
C PREND_LA_VALEUR CO
TANT_QUE (C
DEBUT_TANT_QUE
C PREND_LA_VALEUR C*1.04
n PREND_LA_VALEUR n+1
FIN_TANT_QUE
AFFICHER “n=”
AFFICHER n
FIN_ALGORITHME
b. Le tester sur différentes valeurs de C0. Que remarque-t-on ?
c. Pour expliquer ce résultat, démontrer que 
est une suite géométrique où l'on exprimera 
en fonction de n. Résoudre ensuite l'inéquation 
pour retrouver la valeur de n du b.
| On utilisera la fonction ln pour résoudre l'inéquation comportant une puissance n. |
2. On considère maintenant un capital initial C0 placé à un taux annuel de t %. On note Cn le capital au bout de n années, et Cf le capital minimal que l'on veut atteindre. Écrire un algorithme associant, à la donnée de C0, t et Cf , le nombre d'années au bout duquel ce capital Cf sera atteint ou dépassé.
1. a. L'algorithme affiche le nombre n d'années nécessaires pour doubler le capital initial 
b. On obtient toujours la même valeur de n, quel que soit le capital initial.
c. D'une année à la suivante, le montant présent sur le compte est augmenté de
4 %, donc si 
est le capital au bout de n années, alors :
Donc 
est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme 
D'où 
Alors 
(car ln est strictement croissante sur ]0 + ∞ [)
(car 
donc 
donc 
Le capital est doublé en 18 ans.
| Il faut être vigilant lorsqu'on divise par ln(1,04) : est-ce bien un nombre positif ? |
2. On peut reprendre l'algorithme proposé par l'énoncé, mais il faut ajouter deux ligne “lire t” et “lire Cf ” après “lire C0” pour fixer le but à atteindre il faut ensuite changer la condition du “tant que” en (
).
Puis remplacer C * 1,04 par C * (l + t /100).