Exercice corrigé Ancien programme

algorithme : capital à intérêts composés.

1. On considère un capital initial C0 placé à un taux annuel de 4 %. On note Cn le capital au bout de n années.

a. Que donne l'algorithme suivant ?

VARIABLES

C EST_DU_TYPE NOMBRE

n EST_DU_TYPE NOMBRE

C0 EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

LIRE C0

C PREND_LA_VALEUR CO

TANT_QUE (C

DEBUT_TANT_QUE

C PREND_LA_VALEUR C*1.04

n PREND_LA_VALEUR n+1

FIN_TANT_QUE

AFFICHER “n=”

AFFICHER n

FIN_ALGORITHME

b. Le tester sur différentes valeurs de C0. Que remarque-t-on ?

c. Pour expliquer ce résultat, démontrer que est une suite géométrique où l'on exprimera en fonction de n. Résoudre ensuite l'inéquation pour retrouver la valeur de n du b.

On utilisera la fonction ln pour résoudre l'inéquation comportant une puissance n.

2. On considère maintenant un capital initial C0 placé à un taux annuel de t %. On note Cn le capital au bout de n années, et Cf le capital minimal que l'on veut atteindre. Écrire un algorithme associant, à la donnée de C0, t et Cf , le nombre d'années au bout duquel ce capital Cf sera atteint ou dépassé.

1. a. L'algorithme affiche le nombre n d'années nécessaires pour doubler le capital initial

b. On obtient toujours la même valeur de n, quel que soit le capital initial.

c. D'une année à la suivante, le montant présent sur le compte est augmenté de
4 %, donc si est le capital au bout de n années, alors :

Donc est une suite géométrique de raison 1,04 et de premier terme

D'où

Alors

(car ln est strictement croissante sur ]0  + ∞ [)

(car donc donc

Le capital est doublé en 18 ans.

Il faut être vigilant lorsqu'on divise par ln(1,04) : est-ce bien un nombre positif ?
Sinon, le sens de l'inégalité change.

2. On peut reprendre l'algorithme proposé par l'énoncé, mais il faut ajouter deux ligne “lire t” et “lire Cf ” après “lire C0” pour fixer le but à atteindre il faut ensuite changer la condition du “tant que” en ().

Puis remplacer C * 1,04 par C * (l + t /100).

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