Exercice corrigé

algorithme d'euler

Aujourd'hui, les ordinateurs nous tracent avec une grande précision la courbe de la fonction exponentielle. Sans cet outil, un moyen efficace de l'approcher est de tracer la fonction affine par morceaux obtenue par la méthode d'Euler, qui repose sur l'approximation affine.

Soit f une fonction dérivable en a.

Si h est proche de zéro,

Nous allons appliquer ce résultat à la fonction exponentielle.

1. Soit a un réel. Démontrer que, pour h proche de zéro :

2. Nous allons approcher la fonction exponentielle par une fonction affine par morceaux (dont le pas est noté h) : c'est la méthode d'Euler.

Prenons par exemple

Le premier point M0 a pour coordonnées et

Le point suivant M1 a pour coordonnées et

L'approximation affine pour nous donne une valeur approchée de puisque :

On pose donc :

d'où

Le point M2 a pour coordonnées et

L'approximation affine pour nous donne une valeur approchée de puisque :

On pose donc :

d'où

a. Déterminer maintenant les coordonnées de M3 et de M4.

b. On a écrit ci-dessous un algorithme permettant d'afficher les premiers points Mn (dont l'abscisse est inférieure à

VARIABLES

x EST_DU_TYPE NOMBRE

y EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

x PREND_LA_VALEUR 0

y PREND_LA_VALEUR 1

TRACER_POINT (0,1)

TANT_QUE (x

DEBUT_TANT_QUE

x PREND_LA_VALEUR x+0.2

y PREND_LA_VALEUR y*(1+0.2)

TRACER_POINT (x,y)

FIN_TANT_QUE

FIN_ALGORITHME

Sur ce modèle, écrire un algorithme applicable à n'importe quelle valeur de h.

Le tester pour , puis

c. Modifier maintenant l'algorithme de la question précédente de façon à comparer la courbe obtenue par la méthode d'Euler et celle de la fonction exponentielle.

1. Soit a un réel. Pour h proche de zéro :

Mais puisque

Donc, pour h proche de zéro :

2. a. l Le point M3 a pour coordonnées et y3.

L'approximation affine pour nous donne une valeur approchée de puisque :

On pose donc :

  • Le point M4 a pour coordonnées

L'approximation affine pour nous donne une valeur approchée de puisque :

On pose donc :

b.

VARIABLES

h EST_DU_TYPE NOMBRE

x EST_DU_TYPE NOMBRE

y EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

LIRE h

x PREND_LA_VALEUR 0

y PREND_LA_VALEUR 1

TANT_QUE (x

DEBUT_TANT_QUE

x PREND_LA_VALEUR x+h

y PREND_LA_VALEUR y*(1+h)

TRACER_POINT (x,y)

FIN_TANT_QUE

FIN_ALGORITHME


c. L'algorithme ci-dessous permet de visualiser, en bleu, les points obtenus par la méthode d'Euler, et en noir, les points de la courbe de la fonction exponentielle.

VARIABLES

h EST_DU_TYPE NOMBRE

x EST_DU_TYPE NOMBRE

y EST_DU_TYPE NOMBRE

DEBUT_ALGORITHME

LIRE h

x PREND_LA_VALEUR 0

y PREND_LA_VALEUR 1

TANT_QUE (x

DEBUT_TANT_QUE

x PREND_LA_VALEUR x+h

y PREND_LA_VALEUR y*(1+h)

TRACER_POINT (x,y)

TRACER_POINT (x,exp(x))

FIN_TANT_QUE

FIN_ALGORITHME

On voit que l'approximation est de bonne qualité, bien que les courbes s'éloignent lorsque x augmente.

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