algorithme dichotomie

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Compléments sur les fonctions

Ici, f désigne une fonction strictement croissante sur et vérifiant :

Nous allons créer un algorithme associant à une telle fonction f l’unique solution (notée x0) sur de l’équation Cet algorithme procède « par dichotomie », de la manière suivante.

Admettons que l’on connaisse deux réels a0 et b0 tels que et On sait, d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, que

1re étape : On veut situer x0 par rapport au centre de l’intervalle

 

 

Si nécessairement On pose alors et

si nécessairement On pose alors et

Alors

2e étape : On veut situer x0 par rapport au centre de l’intervalle [a1 ; b1].

Si nécessairement On pose alors et

si nécessairement On pose alors et

Alors

On continue jusqu’à obtenir un encadrement à la précision souhaitée. Dès que on s’arrête : l’encadrement obtenu est bien un encadrement à e près.

1. Soit f la fonction définie sur par

a. Vérifier que f est strictement croissante sur et que  
et

b. Calculer et On pose et

c. Déterminer l’intervalle

d. Continuer jusqu’à obtenir un encadrement à 0,2 près de x0.

2. Dans Algobox, entrer la fonction f (= F1). Écrire un algorithme qui, aux réels et b, associe un encadrement à 10-2 près de x0.

 

a, b et c prendront successivement les valeurs a0, b0, c0 ; a1, b1, c1

 

3. Tester l’algorithme avec la fonction avec et