Ici, f désigne une fonction strictement croissante sur 
et vérifiant :
Nous allons créer un algorithme associant à une telle fonction f l'unique solution (notée x0) sur 
de l'équation 
Cet algorithme procède « par dichotomie », de la manière suivante.
Admettons que l'on connaisse deux réels a0 et b0 tels que 
et 
On sait, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, que 
1re étape : On veut situer x0 par rapport au centre 
de l'intervalle 
Si 
nécessairement 
On pose alors 
et 
si 
nécessairement 
On pose alors 
et 
Alors 
2e étape : On veut situer x0 par rapport au centre 
de l'intervalle [a1 b1].
Si 
nécessairement 
On pose alors 
et 
si 
nécessairement 
On pose alors 
et 
Alors 
On continue jusqu'à obtenir un encadrement à la précision souhaitée. Dès que 
on s'arrête : l'encadrement 
obtenu est bien un encadrement à e près.
1. Soit f la fonction définie sur 
par 
a. Vérifier que f est strictement croissante sur 
et que 
et 
b. Calculer 
et 
On pose 
et 
c. Déterminer l'intervalle 
d. Continuer jusqu'à obtenir un encadrement à 0,2 près de x0.
2. Dans Algobox, entrer la fonction f (= F1). Écrire un algorithme qui, aux réels a et b, associe un encadrement à 10-2 près de x0.
| a, b et c prendront successivement les valeurs a0, b0, c0 a1, b1, c1 … |
3. Tester l'algorithme avec la fonction 
avec 
et 
1. a. Pour tout x réel, 
donc f est strictement croissante sur 
De plus, 
donc 
et 
donc :
b. 
c. 
avec 
et 
d. l 
Comme 
on continue.
Comme 
on continue.
Comme 
on continue.
Comme 
on s'arrête.
Donc, x0 est compris entre 2,34375 et 2,5.
2.
VARIABLES
a EST_DU_TYPE NOMBRE
b EST_DU_TYPE NOMBRE
c EST_DU_TYPE NOMBRE
DEBUT_ALGORITHME
LIRE a
LIRE b
TANT_QUE (b-a>0.01) FAIRE
DEBUT_TANT_QUE
c PREND_LA_VALEUR (a+b)/2
SI (F1(c)==0) alors
DEBUT_SI
AFFICHER “x0 =”
AFFICHER c
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
SI (F1(c)
DEBUT_SI
a PREND_LA_VALEUR c
FIN_SI
SINON
DEBUT_SINON
b PREND_LA_VALEUR c
FIN_SINON
FIN_SINON
FIN_TANT_QUE
AFFICHER “x0 est compris entre”
AFFICHER a
AFFICHER “et”
AFFICHER b
FIN_ALGORITHME
On obtient un encadrement à 10-2 près de x0 :
*** Algorithme lancé***
x0 est compris entre 2.4414063 et 2.4511719
***Algorithme terminé***
3. On obtient :
*** Algorithme lancé***
x0 est compris entre 1.7382813 et 1.7480469
***Algorithme terminé***