Exercice corrigé Ancien programme

algorithme : encadrement d'une intégrale

La fonction  n'a pas de primitive explicite. Or la connaissance de est très utile en probabilités. On va donc, dans cet exercice, écrire un algorithme associant au réel x un encadrement de

Le principe de l'encadrement est la méthode des rectangles.

Prenons Nous cherchons à obtenir un encadrement de F(2).

Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base et pour hauteur L'aire totale ainsi obtenue donne une approximation par excès de F(2).

Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base et pour hauteur L'aire totale ainsi obtenue donne une approximation par défaut de F(2).

Plus le nombre de rectangles augmente et meilleure est l'approximation.

Soit x un réel positif et n un entier, On veut obtenir n rectangles identiques dont les bases recouvrent l'intervalle

1. Exprimer, en fonction de n et de x, la largeur h de chaque rectangle.

2. On cherche, dans cette question, à approximer par excès.

a. Exprimer, en fonction de n et de x, l'aire des trois premiers rectangles
(on suppose ), et celle du dernier rectangle.

b. En déduire que la somme des aires des rectangles est égale à :

c. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe la valeur approchée par excès obtenue par la méthode des rectangles.

Entrer l'expression de f dans la fonction numérique F1 et utiliser la fonction « pour k allant de … à … ».

3. Exprimer en fonction de x et de n la somme des aires des rectangles (approximation de par défaut).

4. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe l'encadrement de donné par la méthode des rectangles.

5. Pour tester cet algorithme pour des valeurs de n de plus en plus grandes, puis en déduire une valeur approchée à près de

1. L'intervalle a pour étendue donc en découpant cette étendue en n morceaux de même longueur, on obtient la largeur h des rectangles :

2. a. L'aire du premier rectangle est

Le 2e rectangle va de l'abscisse h à l'abscisse et sa hauteur est f (h), donc l'aire est

Le 3e rectangle va de l'abscisse 2h à l'abscisse 3h, et sa hauteur est f (2h), donc l'aire est

Le dernier rectangle va de l'abscisse à l'abscisse et sa hauteur est , donc l'aire est

b. La somme des aires des rectangles est donc :

c. Pour k allant de 1 à n, il faut calculer l'aire des rectangles, puis les ajouter au fur et à mesure. La somme finale appelée S sera un majorant de l'aire sous la courbe. Cela donne, sous Algobox :

1 VARIABLES

2 x EST_DU_TYPE NOMBRE

3 n EST_DU_TYPE NOMBRE

4 k EST_DU_TYPE NOMBRE

5 S1 EST_DU_TYPE NOMBRE

6 S2 EST_DU_TYPE NOMBRE

7 DEBUT_ALGORITHME

8 LIRE x

9 LIRE n

10 S1 PREND_LA_VALEUR 0

11 S2 PREND_LA_VALEUR 0

12 POUR k ALLANT_DE 1 A n

13 DEBUT_POUR

14 S1 PREND_LA_VALEUR S1+x/n*F1((k-1)*x/n)

15 S2 PREND_LA_VALEUR S2+x/n*F1(k*x/n)

16 FIN_POUR

17 AFFICHER “un majorant de l'aire cherchée est”

18 AFFICHER S1

19 AFFICHER “un minorant de l'aire cherchée est”

20 AFFICHER S2

21

22 FIN_ALGORITHME

23

24 Fonction numérique utilisée :

25 F1(x)=exp(-x*x)

Il vaut mieux initialiser la valeur de S à 0, sinon on prend le risque qu'à chaque fois que l'algorithme sera lancé, il reprenne la valeur de S calculée précédemment.

x2 doit être écrit x ∗ x.

3. La largeur des rectangles est toujours mais leur hauteur est maintenant pour le premier rectangle, pour le 2e, pour le 3e, …, pour le dernier. Ce qui donne une somme des aires égale à :

4.

1 VARIABLES

2 a EST_DU_TYPE NOMBRE

3 b EST_DU_TYPE NOMBRE

4 c EST_DU_TYPE NOMBRE

5 DEBUT_ALGORITHME

6 LIRE a

7 LIRE b

8 SI (a

9 DEBUT_SI

10 c PREND_LA_VALEUR a*(log(a)-1)-b*(log(b)-1)

11 AFFICHER “A=”

12 AFFICHER c

13 FIN_SI

14 SI (a1) ALORS

15 DEBUT_SI

16 c PREND_LA_VALEUR b*(log(b)-1)+a*(log(a)-1)+2

17 AFFICHER “A=”

18 AFFICHER c

19 FIN_SI

20 SI (a>1 ET b>1) ALORS

21 DEBUT_SI

22 c PREND_LA_VALEUR b*(log(b)-1)-a*(log(a)-1)

23 AFFICHER “A=”

24 AFFICHER c

25 FIN_SI

26 FIN_ALGORITHME

5. Pour on obtient S1 et S2 et l'amplitude de cet encadrement est S1−S2 Une valeur approchée à près de est donc 0,88.

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