La fonction 
n'a pas de primitive explicite. Or la connaissance de 
est très utile en probabilités. On va donc, dans cet exercice, écrire un algorithme associant au réel x un encadrement de 
Le principe de l'encadrement est la méthode des rectangles.
Prenons 
Nous cherchons à obtenir un encadrement de F(2).
Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base 
et pour hauteur 
L'aire totale ainsi obtenue donne une approximation par excès de F(2).
Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base 
et pour hauteur 
L'aire totale ainsi obtenue donne une approximation par défaut de F(2).
Plus le nombre de rectangles augmente et meilleure est l'approximation.
Soit x un réel positif et n un entier, 
On veut obtenir n rectangles identiques dont les bases recouvrent l'intervalle 
1. Exprimer, en fonction de n et de x, la largeur h de chaque rectangle.
2. On cherche, dans cette question, à approximer 
par excès.
a. Exprimer, en fonction de n et de x, l'aire des trois premiers rectangles
(on suppose 
), et celle du dernier rectangle.
b. En déduire que la somme des aires des rectangles est égale à :
c. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe la valeur approchée par excès obtenue par la méthode des rectangles.
| Entrer l'expression de f dans la fonction numérique F1 et utiliser la fonction « pour k allant de … à … ». |
3. Exprimer en fonction de x et de n la somme des aires des rectangles (approximation de 
par défaut).
4. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe l'encadrement de 
donné par la méthode des rectangles.
5. Pour 
tester cet algorithme pour des valeurs de n de plus en plus grandes, puis en déduire une valeur approchée à 
près de
1. L'intervalle 
a pour étendue 
donc en découpant cette étendue en n morceaux de même longueur, on obtient la largeur h des rectangles :
2. a. L'aire du premier rectangle est 
Le 2e rectangle va de l'abscisse h à l'abscisse 
et sa hauteur est f (h), donc l'aire est 
Le 3e rectangle va de l'abscisse 2h à l'abscisse 3h, et sa hauteur est f (2h), donc l'aire est 
Le dernier rectangle va de l'abscisse 
à l'abscisse 
et sa hauteur est 
, donc l'aire est 
b. La somme des aires des rectangles est donc :
c. Pour k allant de 1 à n, il faut calculer l'aire des rectangles, puis les ajouter au fur et à mesure. La somme finale appelée S sera un majorant de l'aire sous la courbe. Cela donne, sous Algobox :
1 VARIABLES
2 x EST_DU_TYPE NOMBRE
3 n EST_DU_TYPE NOMBRE
4 k EST_DU_TYPE NOMBRE
5 S1 EST_DU_TYPE NOMBRE
6 S2 EST_DU_TYPE NOMBRE
7 DEBUT_ALGORITHME
8 LIRE x
9 LIRE n
10 S1 PREND_LA_VALEUR 0
11 S2 PREND_LA_VALEUR 0
12 POUR k ALLANT_DE 1 A n
13 DEBUT_POUR
14 S1 PREND_LA_VALEUR S1+x/n*F1((k-1)*x/n)
15 S2 PREND_LA_VALEUR S2+x/n*F1(k*x/n)
16 FIN_POUR
17 AFFICHER “un majorant de l'aire cherchée est”
18 AFFICHER S1
19 AFFICHER “un minorant de l'aire cherchée est”
20 AFFICHER S2
21
22 FIN_ALGORITHME
23
24 Fonction numérique utilisée :
25 F1(x)=exp(-x*x)
| ● Il vaut mieux initialiser la valeur de S à 0, sinon on prend le risque qu'à chaque fois que l'algorithme sera lancé, il reprenne la valeur de S calculée précédemment. ● x2 doit être écrit x ∗ x. |
3. La largeur des rectangles est toujours 
mais leur hauteur est maintenant 
pour le premier rectangle, 
pour le 2e, 
pour le 3e, …, 
pour le dernier. Ce qui donne une somme des aires égale à :
4.
1 VARIABLES
2 a EST_DU_TYPE NOMBRE
3 b EST_DU_TYPE NOMBRE
4 c EST_DU_TYPE NOMBRE
5 DEBUT_ALGORITHME
6 LIRE a
7 LIRE b
8 SI (a
9 DEBUT_SI
10 c PREND_LA_VALEUR a*(log(a)-1)-b*(log(b)-1)
11 AFFICHER “A=”
12 AFFICHER c
13 FIN_SI
14 SI (a1) ALORS
15 DEBUT_SI
16 c PREND_LA_VALEUR b*(log(b)-1)+a*(log(a)-1)+2
17 AFFICHER “A=”
18 AFFICHER c
19 FIN_SI
20 SI (a>1 ET b>1) ALORS
21 DEBUT_SI
22 c PREND_LA_VALEUR b*(log(b)-1)-a*(log(a)-1)
23 AFFICHER “A=”
24 AFFICHER c
25 FIN_SI
26 FIN_ALGORITHME
5. Pour 
on obtient S1 
et S2 
et l'amplitude de cet encadrement est S1−S2 
Une valeur approchée à 
près de 
est donc 0,88.