algorithme : encadrement d’une intégrale

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Exercices
Classe(s) : Tle S | Thème(s) : Intégration

La fonction  n’a pas de primitive explicite. Or la connaissance de est très utile en probabilités. On va donc, dans cet exercice, écrire un algorithme associant au réel x un encadrement de

Le principe de l’encadrement est la méthode des rectangles.

Prenons Nous cherchons à obtenir un encadrement de F(2).

Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base et pour hauteur L’aire totale ainsi obtenue donne une approximation par excès de F(2).

Dans le graphique ci-dessous, les rectangles ont pour base et pour hauteur L’aire totale ainsi obtenue donne une approximation par défaut de F(2).

Plus le nombre de rectangles augmente et meilleure est l’approximation.

Soit x un réel positif et n un entier, On veut obtenir n rectangles identiques dont les bases recouvrent l’intervalle

1. Exprimer, en fonction de n et de x, la largeur h de chaque rectangle.

2. On cherche, dans cette question, à approximer par excès.

a. Exprimer, en fonction de n et de x, l’aire des trois premiers rectangles
(on suppose ), et celle du dernier rectangle.

b. En déduire que la somme des aires des rectangles est égale à :

c. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe la valeur approchée par excès obtenue par la méthode des rectangles.

Entrer l’expression de f dans la fonction numérique F1 et utiliser la fonction « pour k allant de … à … ».

3. Exprimer en fonction de x et de n la somme des aires des rectangles (approximation de par défaut).

4. Écrire un algorithme qui, aux valeurs de x et de n, associe l’encadrement de donné par la méthode des rectangles.

5. Pour tester cet algorithme pour des valeurs de n de plus en plus grandes, puis en déduire une valeur approchée à près de