Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels de I avec 
tels que 
et 
soient de signes contraires.
Il existe un réel c dans 
tel que 
.
On désire trouver un encadrement de c dont l'amplitude est inférieure à une précision e. Pour cela, on applique l'algorithme suivant :
(1) On calcule l'image de 
par f.
(2) Si 
et 
sont de même signe, on remplace a par 
, sinon on remplace b par 
.
(3) Tant que la différence 
est supérieure à e, on recommence à l'étape (1).
Partie A
Soit f la fonction définie sur 
par 
. Elle est dérivable sur 
1. a. Calculer 
et 
.
b. Que peut-on en conclure ?
2. On pose 
et 
. On cherche un encadrement d'amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l'équation 
sur 
.
a. l Calculer 
, puis 
.
-
et 
ont-ils le même signe ? - Quel nombre a ou b remplace-t-on par
? - Quel est le nouvel intervalle
? Quelle est son amplitude ?
b. Recommencer la question a jusqu'à avoir une amplitude inférieure à 0,01.
Partie B
1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et b.
b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.
2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d'amplitude 0,000 1 de la solution de 
dans l'intervalle 
.
Algorithmique
1. a. 
et 
.
b. 
et 
sont de signes contraires, donc, dans l'intervalle 
, il existe une solution à l'équation 
.
2. a. l 
et 
.
-
et 
sont de signes contraires. - On remplace donc b par 1,5.
- La solution est donc dans
, d'amplitude 0,5.
b. En arrondissant à 0,001 près, on a :
| Étape | a | b |
|
|
| (1) | 1 | 2 | 1,5 | 2,375 |
| (2) | 1 | 1,5 | 1,25 | 0,453 |
| (3) | 1 | 1,25 | 1,125 | - 0,326 |
| (4) | 1,125 | 1,25 | 1,188 | 0,050 |
| (5) | 1,125 | 1,188 | 1,156 | - 0,142 |
| (6) | 1,156 | 1,188 | 1,172 | - 0,047 |
| (7) | 1,172 | 1,188 | 1,180 | 0,001 |
La solution est comprise dans 
.
1. a. Programme pour Texas Commentaires
:Input A=?",A Demande la valeur de A
: Affecte la valeur de A dans X
: Calcule l'image de A par f et l'affecte dans Y
:Input "B=?",E Demande la valeur de B
:Input "E=?",E Demande la valeur de l'amplitude E
:Lbl 1
: Calcule
et l'affecte dans X
:If Teste si
et
ont le même signe
:Then
: Si oui, on remplace A par
:Else
: Sinon, on remplace B par
:End
:If Teste si l'amplitude de l'encadrement est
supérieure à la précision souhaitée
:Then
:Goto 1 Si oui, on recommence à l'étiquette 1.
:End
:Disp "A=",A Affiche la borne inférieure de l'encadrement
:Disp "B=",B Affiche la borne supérieure de l'encadrement
b. On retrouve que la solution est comprise dans .
2. À l'aide du programme, on trouve que la solution de dans l'intervalle
est comprise dans
, intervalle d'amplitude inférieure à 0,000 1.
"