Exercice corrigé Ancien programme

Algorithmique

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit a et b deux réels de I avec tels que et soient de signes contraires.

Il existe un réel c dans tel que .

On désire trouver un encadrement de c dont l'amplitude est inférieure à une précision e. Pour cela, on applique l'algorithme suivant :

(1) On calcule l'image de par f.

(2) Si et sont de même signe, on remplace a par , sinon on remplace b par .

(3) Tant que la différence est supérieure à e, on recommence à l'étape (1).

Partie A

Soit f la fonction définie sur par . Elle est dérivable sur

1. a. Calculer et .

b. Que peut-on en conclure ?

2. On pose et . On cherche un encadrement d'amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l'équation sur .

a. l Calculer , puis .

  •   et ont-ils le même signe ?
  •  Quel nombre a ou b remplace-t-on par  ?
  •  Quel est le nouvel intervalle  ? Quelle est son amplitude ?

b. Recommencer la question a jusqu'à avoir une amplitude inférieure à 0,01.

Partie B

1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et b.

b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.

2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d'amplitude 0,000 1 de la solution de dans l'intervalle .

Algorithmique

1. a.  et .

b.  et sont de signes contraires, donc, dans l'intervalle , il existe une solution à l'équation .

2. a. l  et .

  •   et sont de signes contraires.
  •  On remplace donc b par 1,5.
  •  La solution est donc dans , d'amplitude 0,5.

b. En arrondissant à 0,001 près, on a :

Étape

a

b

(1)

1

2

1,5

2,375

(2)

1

1,5

1,25

0,453

(3)

1

1,25

1,125

- 0,326

(4)

1,125

1,25

1,188

0,050

(5)

1,125

1,188

1,156

- 0,142

(6)

1,156

1,188

1,172

- 0,047

(7)

1,172

1,188

1,180

0,001

La solution est comprise dans .

1. a. Programme pour Texas Commentaires

:Input A=?",A Demande la valeur de A

: Affecte la valeur de A dans X

: Calcule l'image de A par f et l'affecte dans Y

:Input "B=?",E Demande la valeur de B

:Input "E=?",E Demande la valeur de l'amplitude E

:Lbl 1

: Calcule et l'affecte dans X

:If Teste si et ont le même signe

:Then

: Si oui, on remplace A par

:Else

: Sinon, on remplace B par

:End

:If Teste si l'amplitude de l'encadrement est

supérieure à la précision souhaitée

:Then

:Goto 1 Si oui, on recommence à l'étiquette 1.

:End

:Disp "A=",A Affiche la borne inférieure de l'encadrement

:Disp "B=",B Affiche la borne supérieure de l'encadrement

b. On retrouve que la solution est comprise dans .

2. À l'aide du programme, on trouve que la solution de dans l'intervalle est comprise dans , intervalle d'amplitude inférieure à 0,000 1.

"

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