Algorithmique

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit a et b deux réels de I avec tels que et soient de signes contraires.

Il existe un réel c dans tel que .

On désire trouver un encadrement de c dont l’amplitude est inférieure à une précision e. Pour cela, on applique l’algorithme suivant :

(1) On calcule l’image de par f.

(2) Si et sont de même signe, on remplace a par , sinon on remplace b par .

(3) Tant que la différence est supérieure à e, on recommence à l’étape (1).

Partie A

Soit f la fonction définie sur par . Elle est dérivable sur

1. a. Calculer et .

b. Que peut-on en conclure ?

2. On pose et . On cherche un encadrement d’amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l’équation sur .

a. l Calculer , puis .

  •   et ont-ils le même signe ?
  •  Quel nombre a ou b remplace-t-on par  ?
  •  Quel est le nouvel intervalle  ? Quelle est son amplitude ?

b. Recommencer la question a jusqu’à avoir une amplitude inférieure à 0,01.

Partie B

1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et b.

b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.

2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d’amplitude 0,000 1 de la solution de dans l’intervalle .