Exercice corrigé Ancien programme

Algorithmique


Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

Soit a et b deux réels de I avec tels que et soient de signes contraires.

Il existe un réel c dans tel que .

On désire trouver un encadrement de c dont l'amplitude est inférieure
à une précision e.

Pour cela, on applique l'algorithme suivant :

(1) On calcule l'image de par f.

(2) Si et sont de même signe, on remplace a par , sinon on remplace b par .

(3) Tant que est supérieur à e, recommencer à l'étape (1).

Soit f la fonction définie sur par . Elle est dérivable sur .

1. a. Calculer et .

b. Que peut-on en conclure ?

2. On pose   et on cherche un encadrement d'amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l'équation sur .

a. l Calculer , puis .

l  et ont-ils le même signe ?

l Quel nombre, a ou b, remplace-t-on par  ?

l Quel est le nouvel intervalle  ? Quelle est son amplitude ?

b. Recommencer la question a. jusqu'à avoir une amplitude inférieure à 0,01.

1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et de b.

b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.

2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d'amplitude 0,000 1 de la solution de .


 Algoritmique

1. a.  et .

b.  et sont de signes contraires, donc, dans l'intervalle , il existe une solution à l'équation .

2. a. l  et .

l  et sont de signes contraires.

l On remplace donc b par 1,5.

l La solution est donc dans , d'amplitude 0,5.

b. En arrondissant à 0,001 près, on a :

Étape

a

b

¨

Æ

Ø

±

1

1

1

1,125

1,125

1,156

1,172

2

1,5

1,25

1,25

1,188

1,188

1,188

1,5

1,25

1,125

1,188

1,156

1,172

1,180

2,375

0,453

- 0,326

0,052

- 0,143

- 0,046

0,003

La solution est comprise dans .

1. a. Programme pour Texas

Commentaires

 : Input "", A

Demande la valeur de A

 :

Affecte la valeur de A dans X

 :

Calcule l'image de A par f et l'affecte dans Y

 : Input "", B

Demande la valeur de B

 : Input "", E

Demande la valeur de l'amplitude E

 : Lbl 1

 

 :

Calcule et l'affecte dans X

 : If

Teste si et ont le même signe

 : Then

 

 :

Si oui, on remplace A par

 : Else

 

 :

Si non, on remplace B par

 : End

 

 : If

Teste si l'amplitude de l'encadrement est supérieure à la précision souhaitée

 : Then  

 : Goto 1

Si oui, on recommence à l'étiquette 1.

 : End

 

 : Disp "", A

Affiche la borne inférieure de l'encadrement

 : Disp "", B

Affiche la borne supérieure de l'encadrement

b. On retrouve que la solution est comprise dans .

2. À l'aide du programme, on voit que la solution de dans l'intervalle est comprise dans , intervalle d'amplitude inférieure à 0,000 1.

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