Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels de I avec tels que
et
soient de signes contraires.
Il existe un réel c dans tel que
.
On désire trouver un encadrement de c dont l’amplitude est inférieure à une précision e. Pour cela, on applique l’algorithme suivant :
(1) On calcule l’image de par f.
(2) Si et
sont de même signe, on remplace a par
, sinon on remplace b par
.
(3) Tant que la différence est supérieure à e, on recommence à l’étape (1).
Partie A
Soit f la fonction définie sur par
. Elle est dérivable sur
1. a. Calculer et
.
b. Que peut-on en conclure ?
2. On pose et
. On cherche un encadrement d’amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l’équation
sur
.
a. l Calculer , puis
.
-
et
ont-ils le même signe ?
- Quel nombre a ou b remplace-t-on par
?
- Quel est le nouvel intervalle
? Quelle est son amplitude ?
b. Recommencer la question a jusqu’à avoir une amplitude inférieure à 0,01.
Partie B
1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et b.
b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.
2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d’amplitude 0,000 1 de la solution de dans l’intervalle
.