Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Soit a et b deux réels de I avec 
tels que 
et 
soient de signes contraires.
Il existe un réel c dans 
tel que 
.
On désire trouver un encadrement de c dont l'amplitude est inférieure
à une précision e.
Pour cela, on applique l'algorithme suivant :
(1) On calcule l'image de 
par f.
(2) Si 
et 
sont de même signe, on remplace a par 
, sinon on remplace b par 
.
(3) Tant que 
est supérieur à e, recommencer à l'étape (1).
Soit f la fonction définie sur 
par 
. Elle est dérivable sur 
.
1. a. Calculer 
et 
.
b. Que peut-on en conclure ?
2. On pose 
et on cherche un encadrement d'amplitude inférieure à 0,01 de la solution à l'équation 
sur 
.
a. l Calculer 
, puis 
.
l 
et 
ont-ils le même signe ?
l Quel nombre, a ou b, remplace-t-on par 
?
l Quel est le nouvel intervalle 
? Quelle est son amplitude ?
b. Recommencer la question a. jusqu'à avoir une amplitude inférieure à 0,01.
1. a. En utilisant Y1 pour stocker la fonction, écrire un programme sur calculatrice qui demande les valeurs a, b et la précision e et qui donne les valeurs finales de a et de b.
b. Retrouver le résultat de la partie A avec le programme.
2. Utiliser le programme pour trouver un encadrement d'amplitude 0,000 1 de la solution de 
.
Algoritmique
1. a. 
et 
.
b. 
et 
sont de signes contraires, donc, dans l'intervalle 
, il existe une solution à l'équation 
.
2. a. l 
et 
.
l 
et 
sont de signes contraires.
l On remplace donc b par 1,5.
l La solution est donc dans 
, d'amplitude 0,5.
b. En arrondissant à 0,001 près, on a :
| Étape | a | b |
|
|
| ¨ ≠ Æ Ø ∞ ± ≤ | 1 1 1 1,125 1,125 1,156 1,172 | 2 1,5 1,25 1,25 1,188 1,188 1,188 | 1,5 1,25 1,125 1,188 1,156 1,172 1,180 | 2,375 0,453 - 0,326 0,052 - 0,143 - 0,046 0,003 |
La solution est comprise dans 
.
| 1. a. Programme pour Texas | Commentaires |
| : Input " | Demande la valeur de A |
| : | Affecte la valeur de A dans X |
| : | Calcule l'image de A par f et l'affecte dans Y |
| : Input " | Demande la valeur de B |
| : Input " | Demande la valeur de l'amplitude E |
| : Lbl 1 | |
| : | Calcule |
| : If | Teste si |
| : Then | |
| : | Si oui, on remplace A par |
| : Else | |
| : | Si non, on remplace B par |
| : End | |
| : If | Teste si l'amplitude de l'encadrement est supérieure à la précision souhaitée |
| : Then | |
| : Goto 1 | Si oui, on recommence à l'étiquette 1. |
| : End | |
| : Disp " | Affiche la borne inférieure de l'encadrement |
| : Disp " | Affiche la borne supérieure de l'encadrement |
et l'affecte dans X
et 
ont le même signe
b. On retrouve que la solution est comprise dans 
.
2. À l'aide du programme, on voit que la solution de 
dans l'intervalle 
est comprise dans 
, intervalle d'amplitude inférieure à 0,000 1.