Exercice corrigé Ancien programme

allo ?

Au cours d'une enquête téléphonique, la probabilité que le correspondant ne décroche pas au premier appel est de 0,4 et s'il décroche, la probabilité qu'il réponde au questionnaire est de 0,3.

1. On note « la personne décroche au premier appel » et « la personne répond au questionnaire lors du premier appel ».

Calculer la probabilité de l'événement

On pourra construire un arbre pondéré.

2. Lorsqu'une personne ne décroche pas au premier appel, on la contacte une seconde fois.

La probabilité qu'elle ne réponde pas la seconde fois est 0,3 et la probabilité qu'elle réponde au questionnaire sachant qu'elle décroche est 0,2. Si une personne ne décroche pas non plus au second appel, on ne la contacte plus.

On note : « la personne décroche au second appel », « la personne répond au questionnaire lors du second appel » et R « la personne répond au questionnaire ». Montrer que la probabilité de l'événement R est 0,236.

Compléter l'arbre précédent.

3. Sachant qu'une personne a répondu au questionnaire, calculer la probabilité qu'elle l'ait fait lors du premier appel. (Arrondir au millième.)

On utilise la formule du cours . . .

4. Un enquêteur a une liste de 25 personnes à contacter. Les sondages auprès des personnes d'une même liste sont indépendants. Quelle est la probabilité pour que 25 % des personnes répondent au questionnaire ? (Arrondir au millième)

Répétitions indépendantes d'une même expérience . . .

1. Les données conduisent immédiatement à l'arbre pondéré :

Ainsi

En cas de difficultés, voir le savoir-faire 2.

2. On complète l'arbre précédent :

avec et incompatibles, donc

Des probabilités conditionnelles inscrites dans l'arbre, on déduit :

Donc soit

On donne la valeur de p(R) dans l'énoncé : il y a de fortes chances pour qu'on en ait besoin dans la suite !

3. donc Or donc : à près.

4. Pour chaque personne contactée, l'expérience a deux issues, R, le succès de probabilité 0, 236 et l'échec, de probabilité Il s'agit donc d'une épreuve de Bernoulli de paramètre

L'enquêteur répète 25 expériences de Bernoulli, identiques et indépendantes.

Le nombre de succès obtenus suit donc une loi binomiale de paramètres et

La probabilité que 20 % des personnes, soit que personnes répondent, est la probabilité d'obtenir 5 succès.

Elle vaut à près.

se calcule directement à la calculatrice en tapant

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