Exercice corrigé Ancien programme

Amortissement des oscillations d'un pendule

Un pendule simple est constitué d'un fil de longueur , fixé en un point et portant à l'autre extrémité une masse ponctuelle . Le pendule est écarté de sa position d'équilibre et lâché sans vitesse initiale. La première oscillation a une amplitude . Après 100 oscillations successives, l'amplitude n'est plus que de .

1. Définir précisément le terme amplitude, pour le pendule. Préciser la vitesse de la masse au point d'angle maximum lors de la première oscillation.

2. À quelle cause attribuer la diminution de l'amplitude du pendule ?

3. Calculer la variation d'énergie mécanique entre la première oscillation et la centième.

4. Calculer le travail W des forces de frottements subies par le pendule entre la première et la centième oscillation.

5. La période T du pendule s'exprime comme . En considérant que la période est parfaitement constante au cours des oscillations, calculer la puissance moyenne P des forces de frottements.

La puissance moyenne d'une force se définit par rapport au travail W de cette même force comme : , où Δt est la durée sur laquelle le travail est
calculé.

1. L'amplitude α0 du mouvement du pendule est l'angle maximum (mesuré par rapport à la verticale descendante) qu'atteint la masselotte m lors d'une oscillation. Si l'angle atteint par la masselotte est maximal (donc égal à l'amplitude), la vitesse en ce point est nulle.

2. L'amplitude des oscillations diminue du fait des forces de frottements dans l'air.

3. On se place à la n-ième oscillation : lorsque l'angle formé par le fil et la verticale descendante est maximal, l'énergie cinétique est nulle. Donc en ce point .

On mesure l'énergie potentielle en prenant comme origine le point de fixation O du fil. On note θ l'angle entre le fil et la verticale descendante.

On a .

Donc à la 1re oscillation : .

À la 100e oscillation : .

4. Le travail des forces de frottements est donc :

.

5. La période T du pendule est . On en déduit la puissance moyenne :

.

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