Exercice corrigé Ancien programme

Analyse énergétique du mouvement d'un pendule élastique horizontal

Un pendule élastique est constitué d'un ressort de raideur k et d'une masse m, le tout monté sur une tige horizontale. La masse m est écartée de sa position d'équilibre et lâchée sans vitesse initiale. On suit ses oscillations dans le tableau ci-
après.

Temps
(s)

Position (cm)

Vitesse (m/s)

0

10

0

0,01

9,5

- 1

0,02

8,07

- 1,9

0,03

5,83

- 2,6

0,04

3,01

- 3

0,05

- 0,1

- 3,2

0,06

- 3,21

- 3

0,07

- 5,99

- 2,5

0,08

- 8,19

- 1,8

0,09

- 9,57

- 0,9

0,1

- 10

0,1

0,11

- 9,44

1

0,12

- 7,94

1,9

0,13

- 5,66

2,6

0,14

- 2,81

3

0,15

0,31

3,2

0,16

3,4

3

0,17

6,16

2,5

0,18

8,3

1,8

0,19

9,62

0,9

0,2

9,99

- 0,1

0,21

9,37

- 1,1

0,22

7,81

- 2

0,23

5,49

- 2,6

0,24

2,61

- 3,1

Temps
(s)

Position (cm)

Vitesse (m/s)

0,25

- 0,52

- 3,2

0,26

- 3,6

- 3

0,27

- 6,32

- 2,5

0,28

- 8,42

- 1,7

0,29

- 9,68

- 0,8

0,3

- 9,98

0,2

0,31

- 9,29

1,2

0,32

- 7,68

2

0,33

- 5,31

2,7

0,34

- 2,41

3,1

0,35

0,72

3,2

0,36

3,79

2,9

0,37

6,48

2,4

0,38

8,53

1,7

0,39

9,73

0,7

0,4

9,97

- 0,3

0,41

9,21

- 1,2

0,42

7,55

- 2,1

0,43

5,14

- 2,7

2,21

- 3,1

0,45

- 0,93

- 3,1

0,46

- 3,98

- 2,9

0,47

- 6,64

- 2,4

0,48

- 8,63

- 1,6

1. À l'aide d'un tableur, représenter la position x en fonction du temps t.

2. Déduire de la courbe précédente une valeur approximative de la période T.

3. Compléter le tableau précédent en introduisant une colonne calculant l'énergie cinétique à chaque instant.

4. Compléter le tableau précédent en introduisant une colonne calculant l'énergie potentielle du ressort .

5. Représenter sur une même courbe EC, EP et EM, l'énergie mécanique totale.

6. Interpréter les courbes précédentes, en particulier en terme de conversion.

7. On étudie maintenant expérimentalement un dispositif analogue, les mesures de x en fonction du temps permettant de tracer la courbe suivante.

a. Mesurer la pseudo-période de ce mouvement oscillant.

b. Comment interpréter la décroissance de l'amplitude au fil des oscillations ?

c. Interpréter ce phénomène en terme d'énergie.

1. Les données permettent de représenter environ deux périodes complètes et le début d'une troisième :

2. On mesure deux périodes sur le graphique : , soit .

3. et 4. On utilise les formule suivantes et pour compléter le tableau :

t (s)

x
(cm)

v (m/s)

EC

EP

EM

0

10

0

0

0,5

0,5

0,01

9,5

- 1

0

0,5

0,5

0,02

8,07

- 1,9

0,2

0,3

0,5

0,03

5,83

- 2,6

0,3

0,2

0,5

0,04

3,01

- 3

0,5

0

0,5

0,05

- 0,1

- 3,2

0,5

0

0,5

0,06

- 3,21

- 3

0,4

0,1

0,5

0,07

- 5,99

- 2,5

0,3

0,2

0,5

0,08

- 8,19

- 1,8

0,2

0,3

0,5

0,09

- 9,57

- 0,9

0

0,5

0,5

0,1

- 10

0,1

0

0,5

0,5

0,11

- 9,44

1

0,1

0,4

0,5

0,12

- 7,94

1,9

0,2

0,3

0,5

0,13

- 5,66

2,6

0,3

0,2

0,5

0,14

- 2,81

3

0,5

0

0,5

0,15

0,31

3,2

0,5

0

0,5

0,16

3,4

3

0,4

0,1

0,5

t (s)

x
(cm)

v (m/s)

EC

EP

EM

0,17

6,16

2,5

0,3

0,2

0,5

0,18

8,3

1,8

0,2

0,3

0,5

0,19

9,62

0,9

0

0,5

0,5

0,2

9,99

- 0,1

0

0,5

0,5

0,21

9,37

- 1,1

0,1

0,4

0,5

0,22

7,81

- 2

0,2

0,3

0,5

0,23

5,49

- 2,6

0,3

0,2

0,5

0,24

2,61

- 3,1

0,5

0

0,5

0,25

- 0,52

- 3,2

0,5

0

0,5

0,26

- 3,6

- 3

0,4

0,1

0,5

0,27

- 6,32

- 2,5

0,3

0,2

0,5

0,28

- 8,42

- 1,7

0,1

0,4

0,5

0,29

- 9,68

- 0,8

0

0,5

0,5

0,3

- 9,98

0,2

0

0,5

0,5

0,31

- 9,29

1,2

0,1

0,4

0,5

0,32

- 7,68

2

0,2

0,3

0,5

0,33

- 5,31

2,7

0,4

0,1

0,5

t (s)

x
(cm)

v (m/s)

EC

EP

EM

0,34

- 2,41

3,1

0,5

0

0,5

0,35

0,72

3,2

0,5

0

0,5

0,36

3,79

2,9

0,4

0,1

0,5

0,37

6,48

2,4

0,3

0,2

0,5

0,38

8,53

1,7

0,1

0,4

0,5

0,39

9,73

0,7

0

0,5

0,5

0,4

9,97

- 0,3

0

0,5

0,5

0,41

9,21

- 1,2

0,1

0,4

0,5

t (s)

x
(cm)

v (m/s)

EC

EP

EM

0,42

7,55

- 2,1

0,2

0,3

0,5

0,43

5,14

- 2,7

0,4

0,1

0,5

0,44

2,21

- 3,1

0,5

0

0,5

0,45

- 0,93

- 3,1

0,5

0

0,5

0,46

- 3,98

- 2,9

0,4

0,1

0,5

0,47

- 6,64

- 2,4

0,3

0,2

0,5

0,48

- 8,63

- 1,6

0,1

0,4

0,5

5. On utilise le tableau précédent pour représenter les énergies.

6. On constate que l'énergie mécanique est constante et vaut environ 0,5 J. Les énergies cinétique et potentielle élastique, quant à elles, oscillent entre 0 et 0,5 J, avec une période d'environ 0,1 s. Elles sont déphasées l'une par rapport à l'autre, de telle façon que lorsque l'une atteint son maximum, l'autre est à son minimum. On peut dire qu'au cours du temps, EC et EP se « transforment » l'une en l'autre.

Initialement par exemple, la vitesse est nulle, EC aussi, et EP est maximum. EP
commence par diminuer et EC va augmenter, du fait même de la diminution de EP. Plus tard bien sûr, cela va s'inverser. On lit donc les conditions initiales du mouvement directement sur le graphique, en .

7. a. On mesure la pseudo-période en remarquant sur la figure que , soit .

b. Cette fois, les frottements sur la tige ne sont plus négligeables, à chaque oscillation l'amplitude du mouvement diminue.

Cela revient à dire que l'énergie mécanique n'est plus constante, car les frottements ne sont pas conservatifs. L'énergie mécanique va donc diminuer à chaque oscillation, de même que les énergies potentielle et cinétique, de telle façon que soit conservée l'égalité .

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner