Exercice corrigé Ancien programme

antécédents par la fonction exp

1. À partir de l'étude de la fonction exponentielle, démontrer que, pour tout réel strictement positif y, l'équation admet une unique solution dans

On notera ln(y) cette solution.

2. Déterminer les valeurs de ln(e), de ln(1) et de ln(e3).

3. Donner un encadrement au centième de ln(5).

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires.

1. La fonction exponentielle est strictement croissante et continue sur et vérifie 

Soit y un réel strictement positif. donc, d'après le théorème des valeurs intermédiaires, l'équation admet une unique solution notée

2. l L'équation admet une unique solution qui est Or 1 est solution de cette équation. Donc

  • L'équation admet une unique solution qui est Or 0 est solution de cette équation. Donc
  • L'équation admet une unique solution qui est Or 3 est solution de cette équation. Donc

3. est l'unique solution de l'équation

donc

La fonction exponentielle étant strictement croissante :

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