Exercice corrigé Ancien programme

applications de la congruence à la divisibilité

1. Démontrer que, pour tout entier naturel n, est un multiple de 7.

En déduire que est un multiple de 7 et que est un multiple de 7.

2. Déterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.

3. Soit On considère le nombre entier

a. Si quel est le reste de la division de Ap par 7 ?

b. Démontrer que si alors Ap est divisible par 7.

c. Étudier le cas où

4. On considère les nombres et

a. Vérifier que ces deux nombres sont des nombres de la forme Ap.

b. À l'aide de la question 3., déterminer s'ils sont divisibles par 7.

1. (modulo 7) et pour tout,

Donc, pour tout , (modulo 7).

Or, donc (modulo 7).

De même, , donc (modulo 7).

Pour tout , , et sont multiples de 7.

2. Soit. D'après le théorème de la division euclidienne, il existe un

(unique) couple avec, tel que.

D'après le résultat précédent :

pour r = 0, (modulo 7),

pour r =1, (modulo 7),

pour r = 2, (modulo 7).

3. a. Si, .

Ainsi (modulo 7) d'après 2.

Comme , on peut conclure que le reste de la division euclidienne de par 7 est 3.

b. Si,

Donc d'après 2., (modulo 7), d'où 7 divise.

c. Si,

.

Donc d'après 2., (modulo 7), et 7 divise .

4. a. ,

,

,

. Donc .

. Donc.

b. , donc a est de la forme Ap avec . D'après 3.a. le reste de la division euclidienne de a par 7 est 3 donc a n'est pas divisible par 7.

, donc b est de la forme Ap avec . D'après 3.c., A4 est divisible par 7 donc b est divisible par 7.

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