Exercice corrigé Ancien programme

applications du théorème de bézout aux congruences

Soit

1. Démontrer la propriété suivante : « Il existe un entier relatif x tel que (modulo n) si, et seulement si, PGCD divise b. »

Se ramener à une équation diophantienne de coefficients a, n et b.

2. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs x vérifiant :

1. Soit, , , .

Il existe tel que (modulo n) équivaut successivement à :

Il existe , il existe tels que.

Il existe , il existe tels que.

Il existe tel que soit solution de l'équation diophantienne

du premier degré.

divise b d'après le théorème d'existence des solutions des

équations diophantiennes du premier degré.

2. donc il existe tel que (modulo 24) d'après 1. Alors pour :

(modulo 24) il existe tel que

il existe tel que

il existe tel que (x  k) soit solution de l'équation diophantienne.

On résout l'équation diophantienne (1)

comme à l'exercice 5 (elle admet des solutions car et divise 2) et est une solution particulière de (1).

L'ensemble des entiers x vérifiant est :

.

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