Exercice corrigé Ancien programme

Approximation du nombre d'or

Soit la suite définie par  et pour tout

 

Attention, ne pas confondre et

1. Calculer u2, u3 et u4. En donner des valeurs approchées à près.

2. Étudier les variations de la fonction f définie sur par  :

3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier

 

Voir le savoir-faire 1.

4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier

5. En déduire que la suite converge vers un réel que l'on déterminera.

Ce nombre est appelé « nombre d'or ».

 

Voir le savoir-faire 4.

1.

2. f est dérivable sur et f est strictement positive sur donc f est strictement croissante sur

 

f est dérivable sur et non pas sur [−1  +∞[ car la fonction est dérivable sur et

3. l donc

  • Supposons qu'il existe un entier tel que et montrons que

car la fonction racine carrée est croissante sur [0  + ∞ [ .

Or et donc

  • Donc, pour tout

4. l et donc

  • Supposons qu'il existe un entier tel que et montrons que

D'après cette hypothèse et le 3.

c'est-à-dire

  • Donc, pour tout

5.On en déduit que la suite est croissante, majorée par 2, donc elle converge vers un réel Φ. Comme avec f, la fonction définie au 2., qui est continue sur l'intervalle Φ est donc solution de l'équation

Or et et

Pour ce trinôme du second degré, donc cette équation a deux solutions et

La seule qui est positive est donc :

 

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