Soit 
la suite définie par 
et pour tout 
| Attention, ne pas confondre |
et 
1. Calculer u2, u3 et u4. En donner des valeurs approchées à 
près.
2. Étudier les variations de la fonction f définie sur 
par :
3. Démontrer par récurrence que, pour tout entier
| Voir le savoir-faire 1. |
4. Démontrer par récurrence que, pour tout entier 
5. En déduire que la suite 
converge vers un réel 
que l'on déterminera.
Ce nombre 
est appelé « nombre d'or ».
| Voir le savoir-faire 4. |
1. 
2. f est dérivable sur 
et 
f ′ est strictement positive sur 
donc f est strictement croissante sur 
| f est dérivable sur |
et non pas sur [−1 +∞[ car la fonction 
est dérivable sur 
et 
3. l 
donc 
- Supposons qu'il existe un entier
tel que 
et montrons que 
car la fonction racine carrée est croissante sur [0 + ∞ [ .
Or 
et 
donc 
- Donc, pour tout
4. l 
et 
donc 
- Supposons qu'il existe un entier
tel que 
et montrons que 
D'après cette hypothèse et le 3.
c'est-à-dire 
- Donc, pour tout
5.On en déduit que la suite 
est croissante, majorée par 2, donc elle converge vers un réel Φ. Comme 
avec f, la fonction définie au 2., qui est continue sur l'intervalle 
Φ est donc solution de l'équation 
Or 
et 
et 
Pour ce trinôme du second degré, 
donc cette équation a deux solutions 
et 
La seule qui est positive est 
donc :
