Exercice corrigé Ancien programme

Arbustes plantés

Une enquête est réalisée sur un échantillon de N arbustes plantés afin de déterminer la proportion d'arbustes qui survivent au premier hiver passé en terre. La conclusion est : « l'intervalle de confiance de la fréquence d'arbustes qui survivent à leur premier hiver est égal à , au risque de 5 % ».

1. Quelle proportion d'arbustes ayant survécu à leur premier hiver a-t-on observée dans l'échantillon ?

2. Quelle est la taille de l'échantillon considéré ?

3. Si l'échantillon avait présenté la même fréquence observée f en ayant un effectif quatre fois plus grand, comment l'intervalle de confiance serait-il modifié ?

Arbustes plantés

1. L'intervalle est centré sur la fréquence observée : .

2. Le rayon de l'intervalle est .

Dans la formule de l'intervalle de confiance de niveau 95 %, ce rayon est . On résout l'équation :

.

Vérification des conditions de validité du résultat : on a bien N supérieur à 30 et .

La taille de l'échantillon considéré pour conclure à cet intervalle de confiance est donc 156.

3. Avec un effectif quatre fois plus grand, le rayon de l'intervalle est divisé par 2. Il était de 0,08, il devient donc 0,04. Ainsi, l'intervalle de confiance devient .

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