Soit f la fonction définie sur 
On note 
sa courbe représentative dans un repère orthonomal.
Partie A. Étude de la fonction f
1. Déterminer les limites de f en 
et en 
2. Déterminer la limite de f quand x tend vers 3 par valeurs supérieures, puis quand x tend vers 3 par valeurs inférieures.
| Réfléchir au signe de x – 3. |
3. Décrire les éventuelles asymptotes horizontales et verticales à la courbe .
4. Étudier le signe de f ′(x).
5. Dresser le tableau de variation complet de f.
6. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à au point d'abscisse 2 puis celle de la tangente T′ à au point d'abscisse 4.
Partie B. Asymptotes obliques
1. Montrer que, pour tout 
2. Soit g la fonction affine définie sur 
par g(x) = x + 3, et (D) la droite d'équation y = x + 3. L'écart entre (D) et est mesuré par la différence :
d(x) = f (x) - (x + 3).
a. Déterminer la limite en 
et en 
de d(x). En donner une interprétation graphique.
b. Étudier le signe de d(x) lorsque x décrit 
En déduire la position relative sur R{3} de et (D).
3. Tracer (D), T, T ′ et .
Partie A
1. l 
l De même, 
2. l 
, donc, par quotient, 
, donc, par quotient, 
3. f admet une asymptote verticale d'équation x = 3.
4. Pour tout x ≠ 3, f ′(x) 
Étudions le signe du numérateur. D = – 4 x² – 6x + 10 > 0 sur 
(a = 1> 0).
Il en résulte que f ′(x) > 0 pour tout x ≠ 3.
Donc f est strictement croissante sur ]- • 3[ et sur ]3 + •[.
5.
6. l T : y = f (2) + f ′(2)(x-2) avec f (2) = 6 et f ′(2) = 2, donc T : y = 2x + 2.
Partie B
1. Soit x ≠ 3, x + 3
| Autre méthode : |
2. a. Pour tout x ≠ 3, d(x) = x + 3 
Donc 
d'où 
.
d'où 
La courbe f se rapproche de la droite (D) au voisinage de l'infini.
b. Si x x–3 d(x) > 0. Si x > 3, alors x – 3 > 0 et d(x)
f est donc au-dessus de (D) sur ]− • 3[, et en dessous de (D) sur ]3 + •[ .
3.
- T ′ : y = f (4) + f ′(4)(x-4) avec f (4) = 6 et f ′(2) = 2, donc T ′ : y = 2x - 2.