Exercice corrigé Ancien programme

asymptote oblique

Soit f la fonction définie sur

On note sa courbe représentative dans un repère orthonomal.

Partie A. Étude de la fonction f

1. Déterminer les limites de f en et en

2. Déterminer la limite de f quand x tend vers 3 par valeurs supérieures, puis quand x tend vers 3 par valeurs inférieures.

 

Réfléchir au signe de x – 3.

 

3. Décrire les éventuelles asymptotes horizontales et verticales à la courbe .

4. Étudier le signe de f ′(x).

5. Dresser le tableau de variation complet de f.

6. Déterminer l'équation réduite de la tangente T à au point d'abscisse 2 puis celle de la tangente T′ à au point d'abscisse 4.

Partie B. Asymptotes obliques

1. Montrer que, pour tout

2. Soit g la fonction affine définie sur par g(x) = x + 3, et (D) la droite d'équation y = x + 3. L'écart entre (D) et est mesuré par la différence :

d(x) = f (x) - (x + 3).

a. Déterminer la limite en et en de d(x). En donner une interprétation graphique.

b. Étudier le signe de d(x) lorsque x décrit En déduire la position relative sur R{3} de et (D).

3. Tracer (D), T, T ′ et .

 

 

 

Partie A

1. l

l De même,

2. l , donc, par quotient,

  • , donc, par quotient,

3. f admet une asymptote verticale d'équation x = 3.

4. Pour tout x ≠ 3, f ′(x)

Étudions le signe du numérateur. D = – 4 x² – 6x + 10 > 0 sur (a = 1> 0).

Il en résulte que f ′(x) > 0 pour tout x ≠ 3.

Donc f est strictement croissante sur ]-    3[ et sur ]3   + [.

5.

 

 

6. l T : y = f (2) + f ′(2)(x-2) avec f (2) = 6 et f ′(2) = 2, donc T : y = 2x + 2.

Partie B

1. Soit x ≠ 3, x + 3

 

Autre méthode :

 

2. a. Pour tout x ≠ 3, d(x) = x + 3

Donc d'où .

d'où

La courbe f se rapproche de la droite (D) au voisinage de l'infini.

b. Si x x–3 d(x) > 0. Si x > 3, alors x – 3 > 0 et d(x)

f est donc au-dessus de (D) sur ]   3[, et en dessous de (D) sur ]3  + [ .

3.

 

  • T ′ : y = f (4) + f ′(4)(x-4) avec f (4) = 6 et f ′(2) = 2, donc T  : y = 2x - 2.

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