Soit f la fonction définie sur 
On note 
sa courbe représentative dans un repère orthonomal.
Partie A. Étude de la fonction f
1. Déterminer les limites de f en 
et en 
2. Déterminer la limite de f quand x tend vers 3 par valeurs supérieures, puis quand x tend vers 3 par valeurs inférieures.
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Réfléchir au signe de x – 3. |
3. Décrire les éventuelles asymptotes horizontales et verticales à la courbe .
4. Étudier le signe de f ′(x).
5. Dresser le tableau de variation complet de f.
6. Déterminer l’équation réduite de la tangente T à au point d’abscisse 2 puis celle de la tangente T′ à au point d’abscisse 4.
Partie B. Asymptotes obliques
1. Montrer que, pour tout 
2. Soit g la fonction affine définie sur 
par g(x) = x + 3, et (D) la droite d’équation y = x + 3. L’écart entre (D) et est mesuré par la différence :
d(x) = f (x) - (x + 3).
a. Déterminer la limite en 
et en 
de d(x). En donner une interprétation graphique.
b. Étudier le signe de d(x) lorsque x décrit 
En déduire la position relative sur R\{3} de et (D).
3. Tracer (D), T, T ′ et .