avec des angles en radians

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Exercices
Classe(s) : 1re S | Thème(s) : Produit scalaire dans le plan


Le but de cet exercice est de construire, à la règle non graduée et au compas, un pentagone régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon 1 (« cercle unitaire »).


On se place dans le plan muni du repère orthonormal .

Si AIDCBA est un pentagone régulier inscrit dans un cercle de centre O, alors :

désignant la mesure principale en radians, de ces angles.

1. Déterminer la valeur de .

2. Exprimer les coordonnées des points A, B, C et D en fonction de , , et .

3. Déterminer les coordonnées du milieu K de et du milieu L de .

4. On admet que, pour des raisons de symétrie, il existe un réel t tel que :

et .

a. Quel est le signe de t ?

b. Établir le système suivant :

5. En déduire les égalités :

.

6. Démontrer alors que , puis que .

7. Construction à la règle non graduée et au compas :

a. Placer les points et . Calculer .

b. Le cercle de centre et passant par M1 coupe la demi-droite en M2. Quelle est l’abscisse du point M2 ?

c. À l’aide du compas, construire le milieu M3 du segment , puis le milieu M4 du segment . Quelle est l’abscisse du point M4 ?

d. Placer les points A, D et K. Terminer la construction du pentagone régulier.