Soit l'application f de dans
définie par
et soit
f sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé
On appelle A et B les points de f d'abscisses respectives 1 et 5.
1. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe du polynôme et l'expression de
sans le symbole « valeur absolue ».
2. Déterminer la limite de f en + ∞ et en – ∞.
3. Étudier la continuité de f en 1 et en 5.
4. a. Calculer la limite en 5+ de f est-elle dérivable en 5 ?
b. Calculer la limite en 1– de f est-elle dérivable en 1 ?
Utiliser la forme factorisée de |
5. Étudier les variations de f .
6. Soit I le point de coordonnées (3 0). Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle le point M de coordonnées
est à une distance constante de I.
En déduire la nature géométrique de f lorsque
1. l On remarque que 1 est une racine du trinôme qui se factorise donc en
x2 désignant la seconde racine du trinôme. En développant, on trouve
On peut aussi calculer D, puis les racines de x² - 6x + 5. |
est positif à l'extérieur des racines (puisque
), c'est-à-dire :
est
- Par conséquent,
2. Au voisinage de + ∞ et de – ∞,
donc, par composition,
donc, par composition,
3. l donc, par composition,
donc, par composition,
Donc f est continue en 5.
Voir le cours, fin du paragraphe III 1. |
donc, par composition,
donc, par composition,
De plus,
Donc f est continue en 1.
4. a. Si
Or donc, par quotient,
A fortiori, f n'est pas dérivable en 5.
b. Si
car
Or donc, par quotient,
A fortiori, f n'est pas dérivable en 1.
On peut montrer de plus que |
5. l Sur et sur
f est de la forme
avec u :
Alors
Sur donc
f est strictement décroissante sur
Sur donc
f est strictement croissante sur
l Sur f est de la forme
avec u :
Alors
Or donc
Donc f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur
6. Soit
La restriction de f à l'intervalle
est donc une portion du cercle de centre
I et de rayon 2.
Mais comme I est le milieu du segment [AB], avec A(1 0) et B(5 0), on peut affirmer que la restriction de f à l'intervalle
est le demi-cercle supérieur de diamètre [AB].