Exercice corrigé Ancien programme

Avec des valeurs absolues

Soit l'application f de dans définie par et soit f sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé

On appelle A et B les points de f d'abscisses respectives 1 et 5.

1. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe du polynôme et l'expression de sans le symbole « valeur absolue ».

2. Déterminer la limite de f en + ∞ et en – ∞.

3. Étudier la continuité de f en 1 et en 5.

4. a. Calculer la limite en 5+ de f est-elle dérivable en 5 ?

b. Calculer la limite en 1 de f est-elle dérivable en 1 ?

 

Utiliser la forme factorisée de et regarder le signe de chaque facteur.

5. Étudier les variations de f .

6. Soit I le point de coordonnées (3   0). Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle le point M de coordonnées est à une distance constante de I.

En déduire la nature géométrique de f lorsque

1. l On remarque que 1 est une racine du trinôme qui se factorise donc en x2 désignant la seconde racine du trinôme. En développant, on trouve

 

On peut aussi calculer D, puis les racines de x² - 6x + 5.

est positif à l'extérieur des racines (puisque ), c'est-à-dire :

est

  • Par conséquent,

2. Au voisinage de + ∞ et de – ∞,

  • donc, par composition,
  • donc, par composition,

3. l donc, par composition,

donc, par composition,

Donc f est continue en 5.

 

Voir le cours, fin du paragraphe III 1.

  • donc, par composition,

donc, par composition,

De plus,

Donc f est continue en 1.

4. a. Si

Or donc, par quotient,

A fortiori, f n'est pas dérivable en 5.

b. Si

car

Or donc, par quotient,

A fortiori, f n'est pas dérivable en 1.

 

On peut montrer de plus que et que On peut alors affirmer que 1 admet des tangentes verticales aux points d'abscisses 1 et 5.

5. l Sur et sur f est de la forme avec u :

Alors

Sur donc

f est strictement décroissante sur

Sur donc

f est strictement croissante sur

l Sur f est de la forme avec u :

Alors

Or donc

Donc f est strictement croissante sur et strictement décroissante sur

6. Soit

La restriction de f à l'intervalle est donc une portion du cercle de centre
I et de rayon 2.

Mais comme I est le milieu du segment [AB], avec A(1  0) et B(5  0), on peut affirmer que la restriction de f à l'intervalle est le demi-cercle supérieur de diamètre [AB].

 

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