Soit l'application f de 
dans 
définie par 
et soit 
f sa courbe représentative dans un plan rapporté à un repère orthonormé 
On appelle A et B les points de f d'abscisses respectives 1 et 5.
1. Étudier, suivant les valeurs de x, le signe du polynôme 
et l'expression de 
sans le symbole « valeur absolue ».
2. Déterminer la limite de f en + ∞ et en – ∞.
3. Étudier la continuité de f en 1 et en 5.
4. a. Calculer la limite en 5+ de 
f est-elle dérivable en 5 ?
b. Calculer la limite en 1– de 
f est-elle dérivable en 1 ?
| Utiliser la forme factorisée de |
et regarder le signe de chaque facteur.5. Étudier les variations de f .
6. Soit I le point de coordonnées (3 0). Démontrer que pour tout x appartenant à l'intervalle 
le point M de coordonnées 
est à une distance constante de I.
En déduire la nature géométrique de f lorsque 
1. l On remarque que 1 est une racine du trinôme 
qui se factorise donc en 
x2 désignant la seconde racine du trinôme. En développant, on trouve 
| On peut aussi calculer D, puis les racines de x² - 6x + 5. |
est positif à l'extérieur des racines (puisque 
), c'est-à-dire :
est 
- Par conséquent,
2. Au voisinage de + ∞ et de – ∞, 
donc, par composition, 
donc, par composition, 
3. l 
donc, par composition, 
donc, par composition, 
Donc f est continue en 5.
| Voir le cours, fin du paragraphe III 1. |
donc, par composition, 
donc, par composition, 
De plus, 
Donc f est continue en 1.
4. a. Si 
Or 
donc, par quotient, 
A fortiori, f n'est pas dérivable en 5.
b. Si 
car 
Or 
donc, par quotient, 
A fortiori, f n'est pas dérivable en 1.
| On peut montrer de plus que |
et que 
On peut alors affirmer que 5. l Sur 
et sur 
f est de la forme 
avec u : 
Alors 
Sur 
donc 
f est strictement décroissante sur 
Sur 
donc 
f est strictement croissante sur 
l Sur 
f est de la forme 
avec u : 
Alors 
Or 
donc 
Donc f est strictement croissante sur 
et strictement décroissante sur 
6. Soit 
La restriction de f à l'intervalle 
est donc une portion du cercle de centre
I et de rayon 2.
Mais comme I est le milieu du segment [AB], avec A(1 0) et B(5 0), on peut affirmer que la restriction de f à l'intervalle 
est le demi-cercle supérieur de diamètre [AB].