Exercice corrigé Ancien programme

avec un logiciel de calcul formel

On considère la fonction B définie sur par

Sur un logiciel de calcul formel, on entre les commandes suivantes, et le logiciel renvoie les réponses notées en-dessous :

(Commande) B(x) : = 10*((1+ln(x))/x)

(Réponse 1) 10*

(Commande) dériver(B(x), x)

(Réponse 2)

(Commande) résoudre(B(x) = 0, x)

(Réponse 3) [exp(−1)]

(Commande) résoudre(B(x) > 0, x)

(Réponse 4)

(Commande) maximum(B(x), [exp(−1) 10])

(Réponse 5) 10

(Commande) intégrer(B(x), x)

(Réponse 6) 5*ln(x)*(ln(x) + 2)

1. a. Traduire sur le graphique ci-dessous, illustrant la courbe représentative de la fonction B, les réponses 3, 4 et 5 renvoyées par le logiciel de calcul formel.

b. Justifier la réponse 3 renvoyée par le logiciel de calcul formel.

2. Retrouver par le calcul le maximum de la fonction B.

3. a. Vérifier que la réponse 6 donnée par le logiciel est bien une primitive de la fonction B.

b. Calculer en fonction de ln(2) puis en donner une valeur approchée à près.

c. Interpréter graphiquement ce résultat et l'illustrer sur le graphique.

1. a. Il s'agit de mettre en valeur la valeur de x pour laquelle , c'est-à-dire le point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, puis l'intervalle sur l'axe des abscisses (en pointillés sur le dessin). Et enfin, le maximum de B qu'on fera apparaître sous la forme d'une tangente horizontale.

b.

2.Pour tout

Il s'agit de la même réponse que celle donnée par le logiciel, mais qui n'avait pas été simplifiée.

De plus, B′ est du signe de ln(x), donc négatif si et positif si donc B est croissante sur décroissante sur et elle atteint un maximum pour

Ce maximum vaut

3. a. Dérivons la fonction F donnée par le logiciel :

Donc F est bien une primitive de B.

b.

unités d'aire.

c. Cette intégrale est l'aire en unités d'aire du domaine colorié en bleu sur le graphique, compris entre les droites d'équations l'axes des abscisses, et la courbe.

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