Partie A
Soit la fonction C définie sur par :
.
1. a. Calculer , où
désigne la fonction dérivée de C.
b. Établir le tableau des variations de sur
et en déduire son signe.
2. On rapporte le plan à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 20 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 30 000 unités sur l'axe des ordonnées).
On note la courbe représentative de C.
On note A le point de d'abscisse 150.
a. Déterminer une équation de T la tangente à en A.
b. À l'aide des variations de , préciser la position de
par rapport à T.
3. Représenter graphiquement et T.
Partie B
Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :
.
On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire on choisit comme modélisation de ce coût marginal .
On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est :
(autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l'est au prix ).
1. Calculer la recette totale pour la vente de x objets.
2. On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire on modélise cette recette marginale par où
est la fonction dérivée de R.
Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?
3. Montrer que le bénéfice pour la fabrication et la vente de x unités est donné par :
.
4. a. Calculer où
désigne la fonction dérivée de B.
b. En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au coût marginal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
Partie A 2. b. Pour étudier la position de T par rapport à , on étudiera le signe de
.
Bénéfice maximal
1. a. Pour tout x de , on a
.
Donc : , soit
b. est dérivable sur
avec
.
.
est donc croissante sur
et décroissante sur
.
admet en 150 un minimum positif, donc
est positive sur
.
2. a. Une équation de T la tangente à en A d'abscisse 150 est :
, soit
,
ou encore
b. Soit h la fonction définie sur par :
.
Sur , on a :
.
Or, d'après les variations de , on a
sur
,
donc sur
.
ne s'annule que si
, donc si
.
h est strictement croissante sur avec
.
Si x appartient à , on a
.
Si x appartient à , on a
.
De plus, on a :
au-dessus de
.
On en conclut que si ,
est au-dessus de T et que si
,
est au-dessous de T.
3.
1. La recette totale est le produit du nombre d'objets vendus par le prix unitaire.
, soit
2. Pour tout x de , on a
.
On a :
.
Il y a deux solutions :
et .
Seule x1 appartient à .
Pour , la recette marginale est égale au coût marginal.
3. Pour x objets fabriqués et vendus, le bénéfice est la différence entre la recette et le coût.
On a :
.
Soit .
4. a. Pour tout x de , on a
b. Le signe de qui admet deux racines
et
est donné par le tableau :
On a donc sur
et
sur
.
B atteint son maximum pour , c'est-à-dire quand la recette marginale est égale au coût marginal.
,
soit à 0,01 près.
Le bénéfice maximal vaut 158 333 euros à un euro près.
Partie B 4. b. Un trinôme est du signe de a sauf entre ses racines si elles existent.