Partie A
Soit la fonction C définie sur 
par :
.
1. a. Calculer 
, où 
désigne la fonction dérivée de C.
b. Établir le tableau des variations de 
sur 
et en déduire son signe.
2. On rapporte le plan à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 20 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 30 000 unités sur l'axe des ordonnées).
On note 
la courbe représentative de C.
On note A le point de 
d'abscisse 150.
a. Déterminer une équation de T la tangente à 
en A.
b. À l'aide des variations de 
, préciser la position de 
par rapport à T.
3. Représenter graphiquement 
et T.
Partie B
Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :
.
On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire on choisit comme modélisation de ce coût marginal 
.
On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est :
(autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l'est au prix 
).
1. Calculer la recette totale 
pour la vente de x objets.
2. On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire on modélise cette recette marginale par 
où 
est la fonction dérivée de R.
Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?
3. Montrer que le bénéfice pour la fabrication et la vente de x unités est donné par :
.
4. a. Calculer 
où 
désigne la fonction dérivée de B.
b. En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au coût marginal. Que vaut ce bénéfice maximal ?
Partie A 2. b. Pour étudier la position de T par rapport à 
, on étudiera le signe de 
.
Bénéfice maximal
1. a. Pour tout x de 
, on a 
.
Donc : 
, soit 
b. 
est dérivable sur 
avec 
.
.
est donc croissante sur 
et décroissante sur 
.
admet en 150 un minimum positif, donc 
est positive sur 
.
2. a. Une équation de T la tangente à 
en A d'abscisse 150 est :
, soit 
,
ou encore 
b. Soit h la fonction définie sur 
par : 
.
Sur 
, on a : 
.
Or, d'après les variations de 
, on a 
sur 
,
donc 
sur 
.
ne s'annule que si 
, donc si 
.
h est strictement croissante sur 
avec 
.
Si x appartient à 
, on a 
.
Si x appartient à 
, on a 
.
De plus, on a :
au-dessus de 
.
On en conclut que si 
, 
est au-dessus de T et que si 
, 
est au-dessous de T.
3.
1. La recette totale 
est le produit du nombre d'objets vendus par le prix unitaire.
, soit 
2. Pour tout x de 
, on a 
.
On a : 
.
Il y a deux solutions :
et 
.
Seule x1 appartient à 
.
Pour 
, la recette marginale est égale au coût marginal.
3. Pour x objets fabriqués et vendus, le bénéfice est la différence entre la recette et le coût.
On a :
.
Soit 
.
4. a. Pour tout x de 
, on a 
b. Le signe de 
qui admet deux racines 
et 
est donné par le tableau :
On a donc 
sur 
et 
sur 
.
B atteint son maximum pour 
, c'est-à-dire quand la recette marginale est égale au coût marginal.
,
soit 
à 0,01 près.
Le bénéfice maximal vaut 158 333 euros à un euro près.
Partie B 4. b. Un trinôme 
est du signe de a sauf entre ses racines si elles existent.