Exercice corrigé Ancien programme

Bénéfice maximal

Partie A

Soit la fonction C définie sur par :

.

1. a. Calculer , où désigne la fonction dérivée de C.

b. Établir le tableau des variations de sur et en déduire son signe.

2. On rapporte le plan à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 20 unités sur l'axe des abscisses et 1 cm pour 30 000 unités sur l'axe des ordonnées).

On note la courbe représentative de C.

On note A le point de d'abscisse 150.

a. Déterminer une équation de T la tangente à en A.

b. À l'aide des variations de , préciser la position de par rapport à T.

3. Représenter graphiquement et T.

Partie B

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :

.

On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d'un objet supplémentaire  on choisit comme modélisation de ce coût marginal .

On suppose que l'entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est :

(autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l'est au prix ).

1. Calculer la recette totale pour la vente de x objets.

2. On appelle recette marginale l'augmentation de recette procurée par la vente d'un objet supplémentaire  on modélise cette recette marginale par est la fonction dérivée de R.

Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

3. Montrer que le bénéfice pour la fabrication et la vente de x unités est donné par :

.

4. a. Calculer désigne la fonction dérivée de B.

b. En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au coût marginal. Que vaut ce bénéfice maximal ?

Partie A 2. b. Pour étudier la position de T par rapport à , on étudiera le signe de .

Bénéfice maximal

1. a. Pour tout x de , on a .

Donc : , soit

b.  est dérivable sur avec .

.

est donc croissante sur et décroissante sur .

admet en 150 un minimum positif, donc est positive sur .

2. a. Une équation de T la tangente à en A d'abscisse 150 est :

, soit ,

ou encore

b. Soit h la fonction définie sur par : .

Sur , on a : .

Or, d'après les variations de , on a sur ,

donc sur .

ne s'annule que si , donc si .

h est strictement croissante sur avec .

Si x appartient à , on a .

Si x appartient à , on a .

De plus, on a :

au-dessus de .

On en conclut que si , est au-dessus de T et que si , est au-dessous de T.

3.

1. La recette totale est le produit du nombre d'objets vendus par le prix unitaire.

, soit

2. Pour tout x de , on a .

On a :

.

Il y a deux solutions :

et .

Seule x1 appartient à .

Pour , la recette marginale est égale au coût marginal.

3. Pour x objets fabriqués et vendus, le bénéfice est la différence entre la recette et le coût.

On a :

.

Soit .

4. a. Pour tout x de , on a

b. Le signe de qui admet deux racines et est donné par le tableau :

On a donc sur et sur .

B atteint son maximum pour , c'est-à-dire quand la recette marginale est égale au coût marginal.

,

soit à 0,01 près.

Le bénéfice maximal vaut 158 333 euros à un euro près.

Partie B 4. b. Un trinôme est du signe de a sauf entre ses racines si elles existent.

Accéder à tous les contenus
dès 6,79€/mois

  • Les dernières annales corrigées et expliquées
  • Des fiches de cours et cours vidéo/audio
  • Des conseils et méthodes pour réussir ses examens
  • Pas de publicités
S'abonner