Bénéfice maximal

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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle

Partie A

Soit la fonction C définie sur par :

.

1. a. Calculer , où désigne la fonction dérivée de C.

b. Établir le tableau des variations de sur et en déduire son signe.

2. On rapporte le plan à un repère orthogonal (unités graphiques : 1 cm pour 20 unités sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 30 000 unités sur l’axe des ordonnées).

On note la courbe représentative de C.

On note A le point de d’abscisse 150.

a. Déterminer une équation de T la tangente à en A.

b. À l’aide des variations de , préciser la position de par rapport à T.

3. Représenter graphiquement et T.

Partie B

Pour une entreprise E dont la production peut varier de 0 à 300 unités, le coût total de fabrication de x unités est donné par la fonction :

.

On appelle coût marginal la dépense occasionnée par la production d’un objet supplémentaire ; on choisit comme modélisation de ce coût marginal .

On suppose que l’entreprise est en situation de monopole, ce qui a pour effet que la demande est uniquement fonction du prix. La relation liant prix de vente unitaire p et demande x (en unités) est :

(autrement dit, quand x objets sont vendus, chacun l’est au prix ).

1. Calculer la recette totale pour la vente de x objets.

2. On appelle recette marginale l’augmentation de recette procurée par la vente d’un objet supplémentaire ; on modélise cette recette marginale par est la fonction dérivée de R.

Pour quelle valeur de x la recette marginale est-elle égale au coût marginal ?

3. Montrer que le bénéfice pour la fabrication et la vente de x unités est donné par :

.

4. a. Calculer désigne la fonction dérivée de B.

b. En déduire que le bénéfice est maximal quand la recette marginale est égale au coût marginal. Que vaut ce bénéfice maximal ?

Partie A 2. b. Pour étudier la position de T par rapport à , on étudiera le signe de .