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Exercices
Classe(s) : Tle ES - Tle L | Thème(s) : Notion de continuité sur un intervalle

Une entreprise achète une machine 30 000 .

Elle peut la revendre au bout de t années au prix de :

pour ,

t est exprimé en années et en milliers d’euros (en abrégé k).

1. a. Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?

b. Au bout de combien d’années la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur à l’achat ?

c. La différence, exprimée en k, entre le prix d’achat de la machine et son prix de revente au bout de t années est : .

Montrer que D est une fonction croissante sur l’intervalle .

2. On peut exprimer le coût total d’entretien en k, pour une durée de t années d’utilisation, par :

.

Calculer et prouver que E est une fonction croissante sur .

3. a. Justifier que le coût total d’usage (en k) de cette machine est :

.

b. Déduire des questions précédentes le sens de variation de f sur .

c. Tracer la courbe représentative T de f, dans un plan muni d’un repère rectangulaire d’origine O avec pour unités : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 8 k sur l’axe des ordonnées.

On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes :

t

1

2

3

4

5

6

7

8

10,5

17

22,5

28

33,9

40,5

47,8

56

4. Le coût moyen d’utilisation, en k, au bout de t années est égal à :

avec .

a. Soit M le point de T d’abscisse t.

Montrer que est le coefficient directeur de la droite .

b. Déterminer graphiquement la valeur de t pour laquelle est minimale.

c. L’entreprise décide de revendre la machine quand le coût moyen d’utilisation est minimal.

On admet que cela correspond à .

Calculer alors le coût moyen pour l’entreprise ainsi que le coût total (en k).

3. b. Si deux fonctions ont les mêmes variations sur un intervalle I, alors leur somme a aussi les mêmes variations sur I.