Une entreprise achète une machine 30 000 €.
Elle peut la revendre au bout de t années au prix de :
pour 
,
où t est exprimé en années et 
en milliers d’euros (en abrégé k€).
1. a. Quelle est sa valeur de revente au bout de 4 ans ?
b. Au bout de combien d’années la machine aura-t-elle perdu la moitié de sa valeur à l’achat ?
c. La différence, exprimée en k€, entre le prix d’achat de la machine et son prix de revente au bout de t années est : 
.
Montrer que D est une fonction croissante sur l’intervalle 
.
2. On peut exprimer le coût total d’entretien en k€, pour une durée de t années d’utilisation, par :
.
Calculer 
et prouver que E est une fonction croissante sur 
.
3. a. Justifier que le coût total d’usage (en k€) de cette machine est :
.
b. Déduire des questions précédentes le sens de variation de f sur 
.
c. Tracer la courbe représentative T de f, dans un plan muni d’un repère rectangulaire d’origine O avec pour unités : 2 cm pour une année sur l’axe des abscisses et 1 cm pour 8 k€ sur l’axe des ordonnées.
On pourra utiliser les valeurs approchées suivantes :
|
t |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
|
10,5 |
17 |
22,5 |
28 |
33,9 |
40,5 |
47,8 |
56 |
4. Le coût moyen d’utilisation, en k€, au bout de t années est égal à :
avec 
.
a. Soit M le point de T d’abscisse t.
Montrer que 
est le coefficient directeur de la droite 
.
b. Déterminer graphiquement la valeur de t pour laquelle 
est minimale.
c. L’entreprise décide de revendre la machine quand le coût moyen d’utilisation est minimal.
On admet que cela correspond à 
.
Calculer alors le coût moyen pour l’entreprise ainsi que le coût total (en k€).
3. b. Si deux fonctions ont les mêmes variations sur un intervalle I, alors leur somme a aussi les mêmes variations sur I.